[BZOJ2797][Poi2012]Squarks（数学）

最新推荐文章于 2019-02-14 19:01:58 发布

xyz32768

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分类专栏： BZOJ、UOJ、LOJ 文章标签：数学

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本文解析了一道洛谷P3540/BZOJ2797的数学题目，通过排序和枚举技巧，利用小学奥数原理解决X1+X2=A1,X1+X3=A2的问题，详细介绍了求解步骤和算法实现，复杂度为O(n3logn)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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Solution

一道不错的数学题
先将读入的数组 $A$ 从小到大排序
显然 $X_1+X_2=A_1$ ， $X_1+X_3=A_2$
（上面的 $X$ 是递增的）
设 $X_2+X_3=A_k$ ，则很容易得到比 $A_k$ 小的只会是 $X_1+X_i$
所以 $k\le n$ ，我们枚举 $X_2+X_3=A_k$ 中的 $k$ （注意，重复的 $A_k$ 不能被再次枚举）
根据小学奥数，我们得到
$X_1=\frac{A_1+A_2+A_k}2-A_k$
$X_2=\frac{A_1+A_2+A_k}2-A_2$
$X_3=\frac{A_1+A_2+A_k}2-A_1$
当然，如果 $X_1,X_2,X_3$ 中有一者不是正整数或者不严格递增，则我们不能用这样的 $X_1,X_2,X_3$ 导出一组解
用一个数据结构（支持删元素和询问最小值）存下 $A$ 数组，先删掉 $A_1,A_2,A_k$
易得，这时候数据结构中存的最小值是 $X_1+X_4$
于是我们能求出这时 $X_4$ 的值
然后把 $X_1+X_4$ 、 $X_2+X_4$ 、 $X_3+X_4$ 从数据结构里删除
对于所有的 $4\le i\le n$ 都一样
（1）这时数据结构中存的最小值为 $X_1+X_i$
（2）计算出 $X_i$ ，如果 $X_i\le X_{i-1}$ 则停止这次求解
（3）对于任意 $1\le j<i$ ，将 $X_j+X_i$ 从数据结构中删除，如果 $X_j+X_i$ 不在数据结构内则停止这次求解
如果所有的 $4\le i\le n$ 都能执行完上述过程，则我们得到了一组解
~~至于如何实现这个数据结构，那就各凭本事了~~
复杂度 $O(n^3\log n)$ ，但很难达到上界

Code

#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

const int N = 305, M = 5e4 + 5;

int n, m, a[M], anst, ans[N][N], now[N], top, stk[M], tot, b[M], cnt[M];

std::map<int, int> arr;

void rever()
{
	while (top) cnt[arr[stk[top--]]]++;
}

void jiejuediao(int rd3)
{
	int i, j, tmp = a[1] + a[2] + a[rd3] >> 1, p = 1;
	if (a[1] + a[2] + a[rd3] & 1) return;
	now[1] = tmp - a[rd3]; now[2] = tmp - a[2];
	now[3] = tmp - a[1];
	if (now[1] <= 0 || now[2] <= now[1] || now[3] <= now[2]) return;
	cnt[arr[a[1]]]--; cnt[arr[a[2]]]--; cnt[arr[a[rd3]]]--;
	stk[++top] = a[1]; stk[++top] = a[2]; stk[++top] = a[rd3];
	while (p <= tot && !cnt[p]) p++;
	For (i, 4, n)
	{
		now[i] = b[p] - now[1];
		if (now[i] <= now[i - 1]) return rever();
		For (j, 1, i - 1)
		{
			tmp = arr[now[j] + now[i]];
			if (!tmp || !cnt[tmp]) return rever();
			else cnt[tmp]--, stk[++top] = now[j] + now[i];
		}
		while (p <= tot && !cnt[p]) p++;
	}
	anst++;
	For (i, 1, n) ans[anst][i] = now[i];
	rever();
}

int main()
{
	int i, j;
	n = read(); m = n * (n - 1) >> 1;
	For (i, 1, m) a[i] = read();
	std::sort(a + 1, a + m + 1);
	For (i, 1, m)
		if (i == 1 || a[i] != a[i - 1]) b[++tot] = a[i], cnt[tot] = 1;
		else cnt[tot]++;
	For (i, 1, tot) arr[b[i]] = i;
	For (i, 3, n) if (i == 3 || a[i] != a[i - 1]) jiejuediao(i);
	std::cout << anst << std::endl;
	For (i, 1, anst)
	{
		For (j, 1, n) printf("%d ", ans[i][j]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}