[学习笔记]组合数取模的几种求法

最新推荐文章于 2025-01-09 14:56:16 发布

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#组合数

本文介绍了组合数 (mn) mod p 的不同计算方法，涉及递推、通项公式、Lucas 定理和中国剩余定理等，适用于不同的 n, m, p 值范围，特别关注了质数情况和非质数 p 的处理策略。" 122926333,10666513,Dijkstra算法解决单源最短路问题,"['算法', '图论', 'c++']

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一、引入

给定 $n$ ， $m$ ， $p$ ，求：
$(nm)&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;p\binom nm\bmod p$
其中 $(nm)\binom nm$ 为组合数，表示 $n$ 个元素中选出 $m$ 个的方案数。
即：
$(nm)=n!m!×(n−m)!\binom nm=\frac{n!}{m!\times(n-m)!}$
特殊地，我们规定 $(n0)=1\binom n0=1$ 且当 $n < m$ 时 $(nm)=0\binom nm=0$ 。

二、 $n,m≤3,000n,m\le 3,000$

$(nm)=(n−1m)+(n−1m−1)\binom nm=\binom {n-1}m+\binom{n-1}{m-1}$
（1）组合意义：
考察 $n$ 个元素中的最后一个元素是否被选出。
如果没有被选出，那么前面的 $n - 1$ 个元素必须选出 $m$ 个，即 $(n−1m)\binom {n-1}m$ 。
如果被选出，那么前面的 $n - 1$ 个元素必须选出 $m - 1$ 个，即 $(n−1m−1)\binom {n-1}{m-1}$ 。
（2）数学推导：
$(n−1m)+(n−1m−1)=(n−1)!m!×(n−1−m)!+(n−1)!(m−1)!×(n−m)!\binom{n-1}m+\binom{n-1}{m-1}=\frac{(n-1)!}{m!\times(n-1-m)!}+\frac{(n-1)!}{(m-1)!\times(n-m)!}$
$=(n−1)!×(n−m)+(n−1)!×mm!×(n−m)!=n!m!×(n−m)!=(nm)=\frac{(n-1)!\times(n-m)+(n-1)!\times m}{m!\times(n-m)!}=\frac{n!}{m!\times(n-m)!}=\binom nm$
（3）生成函数：
根据二项式定理 $(a+b)n=∑i=0n(ni)aibn−i(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom nia^ib^{n-i}$ ，数列
$(n0),(n1),(n2),...,(nn)\binom n0,\binom n1,\binom n2,...,\binom nn$
的生成函数为 $1+x)^n$ 。
于是 $(nm)\binom nm$ 就是 $1+x)^n$ 的 $m$ 次项。
设 $F(x))_k$ 表示多项式 $F (x)$ 的 $k$ 次项。
则：
$(n−1m)+(n−1m−1)=((1+x)n−1)m+((1+x)n−1)m−1\binom{n-1}m+\binom{n-1}{m-1}=((1+x)^{n-1})_m+((1+x)^{n-1})_{m-1}$