[BZOJ1799][Ahoi2009]self 同类分布（数位DP）

最新推荐文章于 2019-08-16 10:10:00 发布

xyz32768

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分类专栏： BZOJ、UOJ、LOJ 文章标签：数位DP

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本文介绍了一种解决特定区间内数字拆分问题的动态规划算法。通过将[a,b]区间内的数字拆分为两个子区间[1,a-1]和[1,b]，并利用记忆化搜索优化状态转移过程，实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

询问 $[a,b]$ 拆成 $[1,a-1]$ 和 $[1,b]$ 。
状态定义：
$f[i][j][k][h][0/1]$ 表示：
到了第 $i$ 位，各位数的和为 $j$ ，整个数模 $k$ 为 $h$ ，第五维为 $0$ 表示不卡 $a-1$ 或 $b$ 的上界，否则卡上界。
然后枚举第 $i$ 位数的数值，大力转移即可。
这样空间是爆掉的，但可以发现一个性质：
转移的过程中， $k$ 的值是不变的。
因此可以先枚举 $k$ ，每次做一遍DP， $f[i][j][h][0/1]$ 同上。
可使用记忆化搜索，去掉不可能的状态，提高时间效率。
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 27, M = 178;
int n, a[N], times, mark[N][M][M][2], pw[M][M];
ll f[N][M][M][2];
ll dp(int x, int sm, int md, int op, int MX)
{
    if (sm < 0) return 0;
    if (x == 1)
    {
        mark[x][sm][md][op] = times;
        if (sm > 9) return f[x][sm][md][op] = 0;
        if (sm % MX != md) return f[x][sm][md][op] = 0;
        if ((!op && sm > a[1]) || (op && sm <= a[1]))
            return f[x][sm][md][op] = 0;
        return f[x][sm][md][op] = 1;
    }
    if (mark[x][sm][md][op] == times)
        return f[x][sm][md][op];
    int i; ll ans = 0;
    For (i, (op ? a[x] : 0), (op ? 9 : a[x]))
        if (i != a[x]) ans += dp(x - 1, sm - i,
            (md - pw[MX][x - 1] * i % MX + MX) % MX, 0, MX) +
            dp(x - 1, sm - i,
            (md - pw[MX][x - 1] * i % MX + MX) % MX, 1, MX);
        else ans += dp(x - 1, sm - i,
            (md - pw[MX][x - 1] * i % MX + MX) % MX, op, MX);
    return mark[x][sm][md][op] = times, f[x][sm][md][op] = ans;
}
ll solve(ll x)
{
    int i;
    n = 0;
    if (x == 0) return 0;
    while (x) a[++n] = x % 10, x /= 10;
    ll ans = 0;
    For (i, 1, 162)
        times++, ans += dp(n, i, 0, 0, i);
    return ans;
}
int main()
{
    int MX, j;
    For (MX, 1, 162)
    {
        pw[MX][0] = 1 % MX;
        For (j, 1, 162)
            pw[MX][j] = pw[MX][j - 1] * 10 % MX;
    }
    ll A, B;
    cin >> A >> B;
    cout << solve(B) - solve(A - 1) << endl;
    return 0;
}