[BZOJ4737][清华集训2016]组合数问题(数位 DP )

这篇博客探讨了一种将组合数问题转化为数位DP的方法,利用Lucas定理来解决当k为质数时的计算。通过转换问题,计算在k进制下存在至少一位满足特定条件的数对数量,最终采用数位DP进行求解,复杂度为O(Tk^2 log max(n, m))。" 84887979,8257688,深度解析:CNN特征可视化与DeconvNet应用,"['CNN', '深度学习', '特征提取', '计算机视觉', '可视化工具']

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Address

BZOJ4737
UOJ#275

Solution

根据 Lucas 定理,当 k k k 是质数时:
( n m ) ≡ ∏ i ( n i m i ) (   m o d   k ) \binom nm\equiv\prod_{i}\binom{n_i}{m_i}(\bmod k) (mn)i(mini)(modk)
其中 n i n_i ni m i m_i mi 分别表示 n n n m m m k k k 进制意义下第 i i i 位的值。
所以问题转化成有多少对 0 ≤ i ≤ n 0\le i\le n 0in 0 ≤ j ≤ min ⁡ ( i , m ) 0\le j\le\min(i,m) 0jmin(i,m) 满足 k k k 进制意义下存在一位 x x x 满足 i x &lt; j x i_x&lt;j_x ix<jx
相当于用 ( n + 1 ) × ( n + 2 ) 2 − max ⁡ ( 0 , n − m ) × ( max ⁡ ( 0 , n − m ) + 1 ) 2 \frac{(n+1)\times(n+2)}2-\frac{\max(0,n-m)\times(\max(0,n-m)+1)}2 2(n+1)×(n+2

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