[BZOJ4737][清华集训2016]组合数问题（数位 DP ）

最新推荐文章于 2021-11-10 07:54:00 发布

xyz32768

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分类专栏： BZOJ、UOJ、LOJ 文章标签： Lucas定理数位dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xyz32768/article/details/83449875

这篇博客探讨了一种将组合数问题转化为数位DP的方法，利用Lucas定理来解决当k为质数时的计算。通过转换问题，计算在k进制下存在至少一位满足特定条件的数对数量，最终采用数位DP进行求解，复杂度为O(Tk^2 log max(n, m))。" 84887979,8257688,深度解析：CNN特征可视化与DeconvNet应用,"['CNN', '深度学习', '特征提取', '计算机视觉', '可视化工具']

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Address

BZOJ4737
UOJ#275

Solution

根据 Lucas 定理，当 $k$ 是质数时：
$\binom nm\equiv\prod_{i}\binom{n_i}{m_i}(\bmod k)$
其中 $n_i$ 和 $m_i$ 分别表示 $n$ 和 $m$ 在 $k$ 进制意义下第 $i$ 位的值。
所以问题转化成有多少对 $0\le i\le n$ ， $0\le j\le\min(i,m)$ 满足 $k$ 进制意义下存在一位 $x$ 满足 $i_x<j_x$ 。
相当于用 $\frac{(n+1)\times(n+2)}2-\frac{\max(0,n-m)\times(\max(0,n-m)+1)}2$