[BZOJ3122][Sdoi2013]随机数生成器（BSGS算法）

最新推荐文章于 2020-08-03 20:50:16 发布

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本文详细介绍了BSGS算法的推导过程及其在解决特定模意义下指数方程的应用。通过数学变换，将问题转化成易于求解的形式，并给出了具体的实现代码。此外，还特别讨论了三种特殊情况下的解法。

可以得出通项公式：

X n = a n - 1 \times X 1 + b \times \sum i = 0 n - 2 a i

$X_n=a^{n-1}\times X_1+b\times\sum_{i=0}^{n-2}a^i$

∑n−2i=0ai∑i=0n−2ai $\sum_{i=0}^{n-2}a^i$ 是一个等比数列和的形式，所以转化为：

X n = a n - 1 \times X 1 + b \times a n - 1 - 1 a - 1

$X_n=a^{n-1}\times X_1+b\times\frac{a^{n-1}-1}{a-1}$
所以就是要求最小的

nn $n$ 使得：

a^{n - 1} \times X_{1} + b \times \frac{a^{n - 1} - 1}{a - 1} \equiv t (\mod p)

$a^{n-1}\times X_1+b\times\frac{a^{n-1}-1}{a-1}\equiv t(\mod p)$
两边同时乘以

a(a−1)a(a−1) $a(a-1)$ ：

(a - 1) \times a n \times X 1 + a \times b \times (a n - 1 - 1) \equiv t \times a \times (a - 1) (mod p)

$(a-1)\times a^n\times X_1+a\times b\times(a^{n-1}-1)\equiv t\times a\times (a-1)(\mod p)$
展开并移项：

a n + 1 \times X 1 - a n \times X 1 + a n \times b \equiv t \times a \times (a - 1) + a \times b (mod p)

$a^{n+1}\times X_1-a^n\times X_1+a^n\times b\equiv t\times a\times (a-1)+a\times b(\mod p)$
等号左边合并：

a n \times [(a - 1) \times X 1 + b] \equiv t \times a \times (a - 1) + a \times b (mod p)

$a^n\times[(a-1)\times X_1+b]\equiv t\times a\times (a-1)+a\times b(\mod p)$
再移项（

−1−1 $^{-1}$ 为乘法逆元）：

a n \equiv [t \times a \times (a - 1) + a \times b] \times [(a - 1) \times X 1 + b] - 1 (mod p)

$a^n\equiv[t\times a\times (a-1)+a\times b]\times[(a-1)\times X_1+b]^{-1}(\mod p)$
这样就是BSGS的模板了。
不过要特判三个情况：
（1）

t=X1t=X1 $t=X_1$ ：答案为

11 $1$ 。
（2）

A = 0

$A=0$ ：

t=X1t=X1 $t=X_1$ 时答案为

11 $1$ ，

t = B

$t=B$ 时答案为

22 $2$ ，否则为

- 1

$-1$ 。
（3）

A=1A=1 $A=1$ ：

t=X1t=X1 $t=X_1$ 时答案为

11 $1$ ，

B = 0

$B=0$ 时答案为

−1−1 $-1$ ，否则

XX是一个等差数列，直接利用逆元计算即可。
代码：

#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
int MX, A, B, X1, t, S, C;
map<int, int> ha;
inline int qpow(int a, int b, const int &MX) {
    int res = 1; while (b) b & 1 ? res = 1ll * res * a % MX : 0,
        a = 1ll * a * a % MX, b >>= 1; return res;
}
inline int BSGS() {
    int i, x = 1; for (i = 1; i <= S; ++i) {
        x = 1ll * x * A % MX; if (!ha[x]) ha[x] = i;
    }
    int dalao = qpow(x, MX - 2, MX), tmp = C;
    for (i = 0; i < S; ++i) {
        if (ha[tmp]) {
            int res = i * S + ha[tmp]; ha.clear(); return res;
        } 
        tmp = 1ll * tmp * dalao % MX;
    }
    ha.clear(); return -1;
}
inline void work() {
    MX = read(); A = read(); B = read(); X1 = read(); t = read();
    if (t == X1) return (void) puts("1");
    if (A == 0) {
        if (t == X1) puts("1"); else if (t == B) puts("2");
        else puts("-1"); return;
    }
    if (A == 1) {
        if (B == 0) return (void) puts("-1");
        int res = (t - X1 + MX) % MX;
        res = 1ll * res * qpow(B, MX - 2, MX) % MX;
        return (void) printf("%d\n", res + 1);
    }
    S = ceil(sqrt(MX)); int tmp = (A - 1 + MX) % MX;
    C = (1ll * t * A % MX * tmp % MX + 1ll * A * B % MX) % MX;
    C = 1ll * C * qpow((1ll * X1 * tmp % MX + B) % MX, MX - 2, MX) % MX;
    printf("%d\n", BSGS());
}
int main() {
    int T = read(); while (T--) work();
    return 0;
}