[BZOJ4903][UOJ300][Ctsc2017]吉夫特（DP+优化）

Lucas定理在组合计数的应用

最新推荐文章于 2018-09-25 11:39:24 发布

原创最新推荐文章于 2018-09-25 11:39:24 发布 · 289 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#DP

BZOJ、UOJ、LOJ 专栏收录该内容

341 篇文章

订阅专栏

本文探讨了如何利用Lucas定理解决特定条件下的组合计数问题，通过定义状态f[i]来表示以i为终点的合法子序列个数，并使用统计数组sum来记录满足条件的状态值，最终实现高效求解。

显然，要满足

\prod i = 2 k (a b i - 1 a b i) mod 2 = (a b 1 a b 2) \times (a b 2 a b 3) \times \dots \times (a b k - 1 a b k) mod 2 > 0

$\prod_{i = 2}^k \binom{a_{b_{i-1}}}{a_{b_i}} \bmod 2= \binom{a_{b_1}}{a_{b_2}} \times \binom{a_{b_2}}{a_{b_3}} \times \cdots \times \binom{a_{b_{k-1}}}{a_{b_k}} \bmod 2 > 0$
当且仅当上面乘式的每一项都是奇数。
根据Lucas定理可以推出，

(nm)(nm) $\binom{n}{m}$ 为奇数，当且仅当对于任何一个

ii $i$ ，都有：
如果

n

$n$ 的第

ii $i$ 个二进制位为

0

$0$ ，那么

mm $m$ 的第

i

$i$ 个二进制位不能为

11 $1$ 。
如果把一个二进制数看作一个集合（第

i

$i$ 位为

11 $1$ 表示集合里有

i

$i$ ，否则表示集合里没有

ii $i$ ），
那么可以得出：

(\binom{n}{m}) \equiv 1 (\mod 2) \Leftrightarrow m

$\binom{n}{m}\equiv1(\mod 2)\Leftrightarrow m$ 是

nn $n$ 的子集
定义状态

f [i]

$f[i]$ 表示以

ii $i$ 为终点的合法子序列个数。
加一个统计数组

s u m

$sum$ ，

sum[s]sum[s] $sum[s]$ 表示当前满足

ss $s$ 是

a_{i}

$a_i$ 的子集的

fifi $f_i$ 之和。
然后每算出一个

f[i]f[i] $f[i]$ 之后枚举

aiai $a_i$ 的子集加入

sumsum $sum$ 。
由于所有的

aiai $a_i$ 互不相同，所以复杂度为

O(3logai)O(3log⁡ai) $O(3^{\log a_i})$ 。
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 3e5 + 5, MX = 1e9 + 7;
int n, a[N], cnt[N], f[N], ans;
int main() {
    int i, j; n = read(); for (i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        ans = (ans + (f[i] = cnt[a[i]])) % MX; f[i] = (f[i] + 1) % MX;
        for (j = a[i]; j; j = (j - 1) & a[i]) cnt[j] = (cnt[j] + f[i]) % MX;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}