[SDOI2013] 随机数生成器

传送门

这道题就是推大式子啊
我们发现最后的$X_n$的$n$可能会特别大
所以我们要尝试简化
那么我们联想到等比数列
注：为了表达简便，下文所有式子都是在$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$意义下的
设
$$(X_{i+1}+c)=a(X_i+c)$$
$$X_{i+1}+c=a{X}_i+ac$$
$$X_{i+1}=a{X}_i+(a-1)\cdot c$$
$$\because X_{i+1}=a{X}_i+b$$
$$\therefore b=(a-1)\cdot c$$
$$c=\frac{b}{a-1}$$
那么
$$X_n+c=a^{n-1}(X_1+c)$$
$$a^{n-1}=\frac{t+c}{X_1+c}$$
那么我们只需要找到$n-1$的最小值就可以了
相当于是找关于$y$的方程$x^y=z$的最小整数解
解决这个可以用BSGS算法来解决

但是注意一个细节
就是当$a\le 1$的时候是不能这么算的，因为我们发现
当$a=0$时，$c$是一个负数
当$a=1$时，$c$没有意义
所以特判一下就好了
还要特判当$X_1=t$的时候（其实这个好像无所谓总之特判一下就好了）
如果想写的快一点就手写哈希或者用unordered_map水一下，比map少一个log

# include <bits/stdc++.h>
# include <unordered_map>
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
# define debug puts("QAQ");

typedef long long ll;

const int N=1e5+5;

template <typename T> void read(T &x){
	x=0;int f=1;
	char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
	x*=f;
}

ll T,mod,a,b,c,x1,t;

unordered_map<ll,ll> var;

ll Qpow(ll base,ll ind){
	ll res=1;
	while(ind){
		if(ind&1)res=res*base%mod;
		base=base*base%mod;
		ind>>=1;
	}
	return res;
}

ll BSGS(ll x,ll z){
	var.clear();
	ll m=ceil(sqrt(mod));
	for(ll i=0,j=z;i<=m;i++,j=j*x%mod)var[j]=i;
	for(ll i=1,j=Qpow(x,m),k=j;i<=m;i++,j=j*k%mod)if(var.count(j))return i*m-var[j];
	return -2;
}

int main()
{
	read(T);
	while(T--){
		read(mod),read(a),read(b),read(x1),read(t);
		if(t==x1){puts("1");continue;}
		if(a==1){
			if(b)printf("%lld\n",(t-x1+mod)%mod*Qpow(b,mod-2)%mod+1);
			else puts("-1");
			continue;	
		}
		if(!a){
			if(b==t)puts("2");
			else puts("-1");
			continue;	
		}
		c=b*Qpow(a-1,mod-2);
		ll ans=BSGS(a,(t+c)%mod*Qpow((x1+c)%mod,mod-2)%mod);
		printf("%lld\n",ans+1);
	}
	return 0;
}