[学习笔记]DP模型·路径长度之和

一、问题

给定一棵$n$个节点的无根带权树，要从中选出$K$个不同的点$A_1,A_2,...,A_K$，最小化$\sum_{i=1}^{K-1}dist(A_i,A_{i+1})$的值。$n\leq3000,k\leq n$。$dist(u,v)$为树上$u$到$v$的距离。

二、模型建立

可以把问题看作选出$K$个不同的点$A_1,A_2,...,A_K$，然后从$A_1$走到$A_2$，再走到$A_3$，…，最后走到$A_K$的最小代价。
把原图视为有根树，然后树形DP。由于要选出$K$个点，所以考虑树形背包DP，定义$f[u][i]$表示在$u$的子树内选出$i$个点的最小代价，但是这样是没有正确性的。因为将两个子树合并时，有可能不断地在这两个子树内来回走。所以DP模型改为：
$f[u][i]$：$u$的子树内选出$i$个点，第$1$个点和第$i$个点都为$u$的最小代价，也就是在$u$的子树内，从$u$开始，最后回到$u$。
$g[u][i]$：$u$的子树内选出$i$个点，第$1$个点为$u$的最小代价，也就是在$u$的子树内，从$u$开始，最后回到$u$的子树内的任一节点。
$h[u][i]$：$u$的子树内选出$i$个点，这$i$个点中存在一个点为$u$的最小代价，也就是在$u$的子树内，从任意节点开始，最后回到子树内的任意节点，但必须经过点$u$。
容易得出最后结果为$\min_{i=1}^nh[i][K]$。

三、转移

一开始时，$f[u][1]=g[u][1]=h[u][1]=0$。
以下设当前枚举到了$u$的子节点$v$，$f'[u][i]$表示$u$的已经枚举过的子树的$f[u][i]$，$g'$和$h'$同理。以下的图中，红色区域为$u$的已经枚举过的子树，黄色区域为$v$的子树。$val(u,v)$表示边$(u,v)$的权值。

f的转移

如下图，即从$u$开始，在红色区域走一圈后回到$u$，再到$v$，在黄色区域走一圈后又回到$v$，最后回到$u$，在这个路程中，边$(u,v)$被走了两次，所以转移为：
$f[u][i+j]=\min(f[u][i+j],f'[u][i]+f[v][j]+val(u,v)*2)$

g的转移

转移一：终点在黄色区域。如下图，从$u$开始，在红色区域走一圈后回到$u$，再到$v$，最后回到黄色区域的任意节点。在这个路程中，边$(u,v)$被走了一次，所以转移为：
$g[u][i+j]=\min(g[u][i+j],f'[u][i]+g[v][j]+val(u,v))$

转移二：终点在红色区域。如下图，从$u$开始，先到$v$，在黄色区域里走一圈后回到$v$，再回到$u$，最后回到红色区域的任意节点。在这个路程中，边$(u,v)$被走了两次，所以转移为：
$g[u][i+j]=\min(g[u][i+j],g'[u][i]+f[v][j]+val(u,v)*2)$

h的转移

转移一：起点和终点一个在红色区域，一个在黄色区域。此时一定是从其中一个区域出发，到达$u$之后回到另一个区域内。在这个路程中，边$(u,v)$被走了一次，所以转移为：
$h[u][i+j]=\min(h[u][i+j],g'[u][i]+g[v][j]+val(u,v))$

转移二：起点和终点都在红色区域。也就是从红色区域的任意一点出发，到达$u$后走到$v$，在黄色区域走一圈后回到$v$，再走到$u$，最后回到红色区域内的任意节点。在这个路程中，边$(u,v)$被走了两次，所以转移为：
$h[u][i+j]=\min(h[u][i+j],h'[u][i]+f[v][j]+val(u,v)*2)$

转移三：起点和终点都在黄色区域。也就是从黄色区域的任意一点出发，到达$v$后走到$u$，在红色区域走一圈后回到$u$，再走到$v$，最后回到黄色区域内的任意节点。在这个路程中，边$(u,v)$被走了两次，所以转移为：
$h[u][i+j]=\min(h[u][i+j],f'[u][i]+h[v][j]+val(u,v)*2)$

实现细节

考虑到有可能黄色区域没有被经过。
所以要首先令$f[u][i]=f'[u][i],g[u][i]=g'[u][i],h[u][i]=h'[u][i]$。

四、复杂度分析

看上去是$O(n^3)$的，但是第二维$i$的上界只有$u$的子树大小，因此两层分别枚举两个区域的大小，相当于每一对点都只在lca处被计算了一次，所以复杂度为$O(n^2)$。

五、代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || /*orz mx & xmk*/ c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 3005, M = 6005, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, K, ecnt, nxt[M], adj[N], go[M], f[N][N], g[N][N], h[N][N], sze[N],
ans = 0x3f3f3f3f, val[M], x[N], y[N], z[N];
void chkmin(int &a, int b) {if (b < a) a = b;}
void add_edge(int u, int v, int w) {
    nxt[++ecnt] = adj[u]; adj[u] = ecnt; go[ecnt] = v; val[ecnt] = w;
    nxt[++ecnt] = adj[v]; adj[v] = ecnt; go[ecnt] = u; val[ecnt] = w;
}
void dfs(int u, int fu) {
    int i, j; sze[u] = 1; memset(f[u], INF, sizeof(f[u]));
    memset(g[u], INF, sizeof(g[u])); memset(h[u], INF, sizeof(h[u]));
    f[u][1] = g[u][1] = h[u][1] = 0;
    for (int e = adj[u], v; e; e = nxt[e]) {
        if ((v = go[e]) == fu) continue; dfs(v, u);
        for (i = 1; i <= sze[u] + sze[v]; i++) x[i] = f[u][i],
            y[i] = g[u][i], z[i] = h[u][i];
        for (i = 1; i <= sze[u]; i++) for (j = 1; j <= sze[v]; j++) {
            chkmin(x[i + j], f[u][i] + (val[e] << 1) + f[v][j]);
            chkmin(y[i + j], f[u][i] + val[e] + g[v][j]);
            chkmin(y[i + j], (val[e] << 1) + f[v][j] + g[u][i]);
            chkmin(z[i + j], g[u][i] + val[e] + g[v][j]);
            chkmin(z[i + j], h[u][i] + (val[e] << 1) + f[v][j]);
            chkmin(z[i + j], h[v][j] + (val[e] << 1) + f[u][i]);
        }
        sze[u] += sze[v]; for (i = 1; i <= sze[u]; i++)
            f[u][i] = x[i], g[u][i] = y[i], h[u][i] = z[i];
    }
    if (K <= sze[u]) chkmin(ans, h[u][K]);
}
int main() {
    int i, x, y, z; n = read(); K = read();
    for (i = 1; i < n; i++) x = read(), y = read(), z = read(),
        add_edge(x, y, z); dfs(1, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}