[BZOJ1026][SCOI2009]windy数（数位DP）

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本文详细介绍了如何使用数位动态规划（数位DP）解决特定条件下的计数问题，包括状态定义、转移方程及其实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

可以想到数位DP。即求 $[1,B]$ 内满足条件的个数减去 $[1,A-1]$ 内满足条件的个数。注意 $A=1$ 的情况。以下的「第 $i$ 位」「前 $i$ 位」都是从右往左数起，即从低位往高位数起。
考虑求 $[1,X]$ 内满足条件的个数。定义状态 $f[i][j][0/1]$ 表示到了第 $i$ 位，第 $i$ 位为 $j$ ，第三维为 $0$ 表示前 $i$ 位小于等于 $X$ 的前 $i$ 位，否则为 $1$ 表示前 $i$ 位大于 $X$ 的前 $i$ 位，满足条件的个数。
首先，简单计算出 $f[1][...][...]$ ，然后对于任意一个 $i>1$ ，枚举第 $i-1$ 位的值 $k$ ，如果 $|j-k|\geq 2$ ，那么转移为（以下设 $num_i$ 为 $X$ 的第 $i$ 位的数值）：
1、如果 $j<num_i$ ，那么 $f[i][j][0]+=f[i-1][k][0]+f[i-1][k][1]$
2、如果 $j>num_i$ ，那么 $f[i][j][1]+=f[i-1][k][0]+f[i-1][k][1]$
3、如果 $j=num_i$ ，那么 $f[i][j][0]+=f[i-1][k][0],f[i][j][1]+=f[i-1][k][1]$
设 $n$ 为 $X$ 的位数，那么 $[1,X]$ 内满足条件的数的个数就是：
$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^9(f[i][j][0]+f[i][j][1])+\sum_{j=1}^9f[n][j][0]$
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 15;
int n, num[N], f[N][N][2];
int dp(int A) {
    memset(f, 0, sizeof(f));
    int i, j, k, ans = 0; if (!A) return 0; n = 0;
    while (A) num[++n] = A % 10, A /= 10;
    for (i = 0; i <= num[1]; i++) f[1][i][0] = 1;
    for (i = num[1] + 1; i < 10; i++) f[1][i][1] = 1;
    for (i = 2; i <= n; i++) for (j = 0; j < 10; j++)
    for (k = 0; k < 10; k++) if (abs(j - k) >= 2) {
        if (j < num[i]) f[i][j][0] += f[i - 1][k][0] + f[i - 1][k][1];
        else if (j > num[i]) f[i][j][1] += f[i - 1][k][0] + f[i - 1][k][1];
        else f[i][j][0] += f[i - 1][k][0], f[i][j][1] += f[i - 1][k][1];
    }
    for (i = 1; i < n; i++) for (j = 1; j < 10; j++)
        ans += f[i][j][0] + f[i][j][1];
    for (j = 1; j < 10; j++) ans += f[n][j][0];
    return ans;
}
int main() {
    int A, B; A = read(); B = read();
    cout << dp(B) - dp(A - 1) << endl;
    return 0;
}