[BZOJ1026][SCOI2009]windy数(数位DP)

本文详细介绍了如何使用数位动态规划(数位DP)解决特定条件下的计数问题,包括状态定义、转移方程及其实现代码。

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可以想到数位DP。即求[1,B]内满足条件的个数减去[1,A1]内满足条件的个数。注意A=1的情况。以下的「第i位」「前i位」都是从右往左数起,即从低位往高位数起。
考虑求[1,X]内满足条件的个数。定义状态f[i][j][0/1]表示到了第i位,第i位为j,第三维为0表示前i位小于等于X的前i位,否则为1表示前i位大于X的前i位,满足条件的个数。
首先,简单计算出f[1][...][...],然后对于任意一个i>1,枚举第i1位的值k,如果|jk|2,那么转移为(以下设numiX的第i位的数值):
1、如果j<numi,那么f[i][j][0]+=f[i1][k][0]+f[i1][k][1]
2、如果j>numi,那么f[i][j][1]+=f[i1][k][0]+f[i1][k][1]
3、如果j=numi,那么f[i][j][0]+=f[i1][k][0],f[i][j][1]+=f[i1][k][1]
nX的位数,那么[1,X]内满足条件的数的个数就是:
n1i=19j=1(f[i][j][0]+f[i][j][1])+9j=1f[n][j][0]
代码:

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 15;
int n, num[N], f[N][N][2];
int dp(int A) {
    memset(f, 0, sizeof(f));
    int i, j, k, ans = 0; if (!A) return 0; n = 0;
    while (A) num[++n] = A % 10, A /= 10;
    for (i = 0; i <= num[1]; i++) f[1][i][0] = 1;
    for (i = num[1] + 1; i < 10; i++) f[1][i][1] = 1;
    for (i = 2; i <= n; i++) for (j = 0; j < 10; j++)
    for (k = 0; k < 10; k++) if (abs(j - k) >= 2) {
        if (j < num[i]) f[i][j][0] += f[i - 1][k][0] + f[i - 1][k][1];
        else if (j > num[i]) f[i][j][1] += f[i - 1][k][0] + f[i - 1][k][1];
        else f[i][j][0] += f[i - 1][k][0], f[i][j][1] += f[i - 1][k][1];
    }
    for (i = 1; i < n; i++) for (j = 1; j < 10; j++)
        ans += f[i][j][0] + f[i][j][1];
    for (j = 1; j < 10; j++) ans += f[n][j][0];
    return ans;
}
int main() {
    int A, B; A = read(); B = read();
    cout << dp(B) - dp(A - 1) << endl;
    return 0;
}
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