[BZOJ1296][SCOI2009]粉刷匠（DP）

最新推荐文章于 2023-02-16 23:02:58 发布

xyz32768

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分类专栏： BZOJ、UOJ、LOJ 文章标签： 2009 dp

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本文介绍了一种使用两次动态规划解决二维涂色问题的方法，首先预处理出每行0和1的数量，再通过两阶段DP求解最大正确涂色数量，最终得到问题的最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先预处理出 $sum0[i][j]$ 和 $sum1[i][j]$ ，分别表示第 $i$ 行的前 $j$ 个格子内 $0$ 的个数和 $1$ 的个数。
进行第一次DP， $f[i][j][k]$ 表示第 $i$ 行到了第 $j$ 个格子粉刷了 $k$ 次，最多能粉刷正确的格子数。注意这里 $k$ 的上界是 $m$ 而不是 $T$ 。
转移就是，如果 $(i,j)$ 被粉刷到，那么就枚举第 $k$ 次粉刷的开始位置；如果 $(i,j)$ 没有被粉刷到，那么就枚举第 $k$ 次粉刷的结束位置：
$f[i][j][k]=\max_{l=0}^{j-1}(\max(f[i][l][k],$
$f[i][l][k-1]+sum0[i][j]-sum0[i][l],$
$f[i][l][k-1]+sum1[i][j]-sum1[i][l]))$
然后再进行第二次DP， $g[i][j]$ 表示到了第 $i$ 行粉刷了 $j$ 次的最优解。此时转移为：
$g[i][j]=\max_{k=0}^{\min(m,j)}(g[i-1][j-k]+f[i][m][k])$ 。
最后答案就是 $g[n][T]$ 。复杂度 $O(nm^3+nmT)$ 。
代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 55, M = 3005;
int n, m, T, a[N][N], f[N][N][N], g[N][M], sum[N][N][2];
void chkmax(int &a, int b) {if (b > a) a = b;}
int main() {
    int i, j, k, l; scanf("%d%d%d", &n, &m, &T);
    for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= m; j++) {
        scanf("%1d", &a[i][j]);
        sum[i][j][a[i][j]] = sum[i][j - 1][a[i][j]] + 1;
        sum[i][j][a[i][j] ^ 1] = sum[i][j - 1][a[i][j] ^ 1];
    }
    for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= m; j++)
    for (k = 1; k <= m; k++) for (l = 0; l < j; l++) {
        chkmax(f[i][j][k], f[i][l][k]);
        chkmax(f[i][j][k], f[i][l][k - 1] + sum[i][j][0] - sum[i][l][0]);
        chkmax(f[i][j][k], f[i][l][k - 1] + sum[i][j][1] - sum[i][l][1]);
    }
    for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= T; j++)
    for (k = 0; k <= min(m, j); k++)
        chkmax(g[i][j], g[i - 1][j - k] + f[i][m][k]);
    cout << g[n][T] << endl;
    return 0;
}