10. 函数

1.函数简介

2.判断是否是函数

3.定义域和值域

4.函数的递增和递减

5.相对极值

6.奇函数和偶函数

7.函数的运算

8.合成函数

9.反函数

10.分段函数

11.高斯函数

---

1.函数简介

在一个变化过程中, 如果有两个变量x和y, 并且对于x在它允许取值范围内的每一个确定的值, y都有唯一确定的值与其对应

那么我们就说y是x的函数, x叫做自变量

我们来拆解一下这个定义的关键词:

a.两个变量: x(自变量)和y(因变量)

b.每一个x: 函数关系必须对定义域内的所有x都成立

c.唯一确定的y: 这是函数的精髓！一个输入x, 只能对应一个输出 y

---

2.判断是否是函数

我们来看两个经典的例子:

例子1: y = x + 1

a.当x = 1时, y只能是2

b.当x = 2时, y只能是3

c.结论: ✅这是一个函数, 因为一个 x 对应唯一一个y

例子2: y² = x

a.当x = 4 时, y可以是2, 也可以是-2

b.结论: ❌这不是一个函数, 因为一个x对应了两个y

---

图像判断法(竖线检验法):

在坐标系中画一条垂直的竖线, 如果这条竖线与图像的交点永远不超过一个, 那么它就是一个函数

---

3.定义域和值域

一个完整的函数通常由三部分组成, 就像一台机器的说明书:

a.定义域: 自变量x的所有允许取值范围

  比如: 在函数y = 1/x 中, x不能为0, 所以它的定义域是"所有非零实数"

b.值域: 因变量y的所有可能结果

  比如: 在函数y = x²中, y的值永远大于等于0, 所以它的值域是"所有非负实数"

c.对应法则: x和y之间的具体运算关系, 这是函数的"心脏"

  比如: f(x) = 2x + 3的对应法则就是"乘以2, 再加3"

d.我们用一个符号来优雅地表示函数: f(x), 读作"f of x"

- f是函数的名字

- (x)括号里的x是输入的自变量

- f(x)整体表示"在法则f下, x对应的输出值"

---

4.函数的递增和递减

设函数f(x)在某个区间I上有定义x₁和x₂是区间I上的任意两个数, 且x₁ < x₂

1).单调递增

a.如果对于所有x₁ < x₂, 都有f(x₁) ≤ f(x₂), 那么我们说函数在这个区间上是单调不减的(递增)

b.如果对于所有x₁ < x₂, 都有f(x₁) < f(x₂), 那么我们说函数在这个区间上是严格单调递增的(必须是上坡, 没有平地)

2).单调递减

a.如果对于所有x₁ < x₂, 都有f(x₁) ≥ f(x₂), 那么我们说函数在这个区间上是单调不增的(递减)

b.如果对于所有x₁ < x₂, 都有f(x₁) > f(x₂), 那么我们说函数在这个区间上是严格单调递减的(必须是下坡, 没有平地)

---

在讨论单调性时, 必须指明区间; 一个函数不一定在整个定义域上都只是递增或递减的(比如 y = x²)

我们把函数在整个定义域或其某个子区间上是递增或递减的性质, 统称为函数的单调性, 这个区间就叫做函数的单调区间

---

5.相对极值

相对极值(也称局部极值)指的是函数在某个小邻域内的最大值或最小值

a.相对极大值: 在点x = a附近, f(a)是最大的

b.相对极小值: 在点x = a附近, f(a)是最小的

---

6.奇函数和偶函数

1).偶函数

a.定义: f(-x) = f(x)对所有x成立

b.几何特征: 图像关于y轴对称

2).奇函数

a.定义: f(-x) = -f(x)对所有x成立

b.几何特征: 图像关于原点对称

---

7.函数的运算

设函数f(x)和g(x)的定义域分别为Df和Dg, 则:

---

8.合成函数

合成函数就是函数的函数, 记作: (f∘g)(x)=f(g(x)), 先算g(x), 再把结果代人f

合成函数的定义域: 

a.满足g(x)的值域有效

b.满足g(x)的值域能够映射在f(x)的定义域

---

9.反函数

a.反函数的核心: "反向操作", 如果原函数f把x映射到y, 那么它的反函数f⁻¹就把y映射回x

b.对于一个函数y = f(x), 如果它满足: 一一映射(即每个x对应唯一的y, 每个 也由唯一的x对应)那么它的反函数记作:

x = f⁻¹(y)

c.在习惯上, 我们通常用x表示自变量, y表示因变量; 所以, 我们通常将反函数写作 "y = f⁻¹(x)"

---

10.分段函数

在定义域的不同区间上, 用不同的数学表达式来表示的函数

---

11.高斯函数

a.核心思想: "向下取整", 找到不大于x的最大整数

b.定义

高斯函数, 通常被称为取整函数, 记作y = [x](对于任意实数x, [x]表示不超过x的最大整数)

c.在编程和计算机科学中, 这通常被称为floor函数

d.关键点与性质

- 值域: 函数的值永远是整数

- 图像: 它的图像是由一条条长度为1的水平线段组成的"阶梯状"图形, 这些线段在整数点处发生"跳跃"; 它在每个整数点处

是右连续的

e.表达式: [x] = n, 当且仅当 n ≤ x < n+1, 其中n是整数