【OD机试题解法笔记】无向图染色问题

题目

给一个无向图染色，可以填红黑两种颜色，必须保证相邻两个节点不能同时为红色，输出有多少种不同的染色方案？

输入描述

第一行输入 M (图中节点数) N (边数)
后续 N 行格式为: V1 V2 表示一个 V1 到 V2 的边。
数据范围: 1 <= M <= 15,0 <= N <= M * 3，不能保证所有节点都是连通的。

说明

0 < n < 15
0 <= m <= n * 3
0 <= s, t < n
不保证图连通
保证没有重边和自环

输出描述

输出一个数字表示染色方案的个数。

用例

输入	输出	说明
4 4 1 2 2 4 3 4 1 3	7	4 个节点，4 条边，1 号节点和 2 号节点相连，2 号节点和 4 号节点相连，3 号节点和 4 号节点相连，1 号节点和 3 号节点相连，若想必须保证相邻两个节点不能同时为红色，总共 7 种方案。
3 3 1 2 1 3 2 3	4

思路

输入节点数目少于 15 个，边数不多于 3*15 个，直接暴力DFS+回溯应该可以解决。首先用邻接表按输入边数据把图构造出来，邻接表用数组表示，数组索引是顶点 id，每个数组元素存储相邻节点 id 的集合。枚举每个节点作为起始节点，dfs 每个节点开始给其染色，如果当前节点染成黑色，相邻节点可以染成黑色或红色，如果当前节点染成红色，相邻节点只能染成黑色。需要定义colors集合记录每个节点染色状态，默认所有节点都没染色，colors 填充-1，colors[i] = 0表示节点 i 染成黑色，colors[i] = 1 表示节点 i 染成红色。dfs 函数接收当前节点id，染色在 dfs 内部进行抉择，根据相邻节点颜色判断当前节点能染什么颜色，然后递归遍历相邻节点，每次递归结束回溯时需要把当前节点颜色重置为-1，这样上一轮函数调用可以进行重新着色选择。题目说明图可能不连通，那么从某个节点 dfs 搜索其邻边可能不会完全覆盖所有的节点，这样一次 dfs 可能没法把所有节点染色！题目中说明 0 <= s, t < n，这个 s、t 应该是顶点id，它们是在顶点数目 n 范围内，根据示例输入推断应该是从 1 开始的连续自然数。那么每次搜索下一个节点不从邻边开始，直接把当前节点索引+1表示搜索下一个节点，即dfs(i +1)，直到节点 id 参数 > n 时表示对所有节点完成一次可行的染色，把统计染色方案的全局变量 count+1。

算法过程

1、根据输入数据构建邻接表，染色备忘录colors，统计染色方案的变量count；

2、从第一个节点开始搜索 dfs(1);

3、dfs函数内部逻辑：无条件给当前节点染黑色 colors[i] = 0，继续染色下一个节点dfs(i + 1)；

4、紧接dfs(i + 1), 判断当前节点 i 的相邻节点是否有染过红色的，如果有则当前节点不能染红色，否则给当前节点染红色 color [i] = 1，继续染下一个节点 dfs( i + 1)，这个和第三步的dfs(i + 1) 是染同一个节点 i+1，因为当前节点 i 的染色方案不同，dfs( i + 1)会有不同染色方案，最后回溯，重置当前节点颜色 colors[i] = -1；

5、完成 dfs(1) 的调用得到所有可行的染色方案数 count，时间复杂度是O(2ⁿ)，对于1 <= M <= 15,足够。

代码

function solution(lines) {
    const arr = lines.trim().split('\n').map(line => line.trim().split(' ').map(e => parseInt(e)));
    const [M, N] = arr[0];
    const data = arr.slice(1);
    const edges = Array.from({ length: M + 1 }, () => []);
    
     for (let [u, v] of data) {
        edges[u].push(v);
        edges[v].push(u);
    }
    
    // 存储每个节点的颜色：0-黑色，1-红色，-1-未染色
    const colors = Array(M + 1).fill(-1);
    let count = 0;
    
    // DFS函数：尝试给节点u染色
    function dfs(u) {
        // 如果所有节点都已经染色，说明找到了一种合法方案
        if (u > M) {
            count++;
            return;
        }
        
        // 尝试染黑色（总是合法的）
        colors[u] = 0;
        dfs(u + 1);
        
        // 尝试染红色（需要检查合法性）
        let canPaintRed = true;
        for (const v of edges[u]) {
            if (colors[v] === 1) {
                canPaintRed = false;
                break;
            }
        }
        if (canPaintRed) {
            colors[u] = 1;
            dfs(u + 1);
        }
        
        // 回溯，重置当前节点颜色
        colors[u] = -1;
    }
    
    // 从第一个节点开始DFS
    dfs(1);

    return count;
}

let lines = [
`4 4
1 2
2 4
3 4
1 3`,
`3 3
1 2
1 3
2 3`
];

lines.forEach(line => {
    console.log(solution(line));    
});