多元正态分布的条件分布与边缘分布

问题概述

问题是这样的，一个$n$元的随机向量
$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$ 服从正态分布$N(x,\mu ,\Sigma )$，其中

$$\mu =\left[\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\end{array}\right]$$

$$\Sigma =\left[\begin{array}{cc}{\Sigma }_{11}& {\Sigma }_{12}\\ {\Sigma }_{21}& {\Sigma }_{22}\end{array}\right]$$

注意到，$x_1$和$x_2$的维度分别是$p$和$q$，且$p+q=n$，且有$\Sigma ={\Sigma }^T$和${\Sigma }_{21}={\Sigma }_{21}^T$。

此时应该有如下两个结论：

结论1：
$x_1,x_2$的边缘分布也是正态分布，均值为向量${\mu }_i$，协方差矩阵为${\Sigma }_{ii}(i=1,2)$。

结论2：
给定$x_j$时，$x_i$的条件分布也是正态分布，均值为向量$${\mu }_{i|j}={\mu }_i+{\Sigma }_{ij}{\Sigma }_{jj}^{-1}(x_j-{\mu }_j)$$，协方差矩阵为$${\Sigma }_{i|j}={\Sigma }_{jj}-{\Sigma }_{ij}^T{\Sigma }_{ii}^{-1}{\Sigma }_{ij}$$

课上老师给出了结论2中关于均值和协方差矩阵的简单证明方法，我纠结的点主要在如何去证明条件分布本身是正态分布。在参考链接中得到了答案。

参考链接：
详细证明：http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gaussianprocess/node7.html
A glimpse：http://www.stats.ox.ac.uk/~steffen/teaching/bs2HT9/gauss.pdf
问题解析出处参考：https://stats.stackexchange.com/questions/30588/deriving-the-conditional-distributions-of-a-multivariate-normal-distribution