洛谷P3205 [HNOI2010]合唱队

最新推荐文章于 2025-03-18 15:23:32 发布

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#c++ #算法 #动态规划

本文介绍了一个有趣的算法问题：如何计算获得特定队形的不同初始排列数量。通过动态规划的方法解决这一问题，并给出了详细的实现思路及代码示例。

题目

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为 AAA 合唱队负责人的小 A 需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共 nn 个人，第 ii 个人的身高为 h_ihi 米（1000 \le h_i \le 20001000≤hi≤2000），并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是 AA 个人站成一排，为了简化问题，小 A 想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

第一个人直接插入空的当前队形中。
对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高（hh 较大），那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮（hh 较小），那么将他插入当前队形的最左边。

当 nn 个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有 66 个人站成一个初始队形，身高依次为 1850, 1900, 1700, 1650, 1800, 17501850,1900,1700,1650,1800,1750，
那么小 A 会按以下步骤获得最终排出的队形：

18501850。
1850, 19001850,1900，因为 1900 > 18501900>1850。
1700, 1850, 19001700,1850,1900，因为 1700 < 19001700<1900。
1650, 1700, 1850, 19001650,1700,1850,1900，因为 1650 < 17001650<1700。
1650, 1700, 1850, 1900, 18001650,1700,1850,1900,1800，因为 1800 > 16501800>1650。
1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 18001750,1650,1700,1850,1900,1800，因为 1750 < 18001750<1800。

因此，最终排出的队形是 1750, 1650, 1700, 1850, 1900, 18001750,1650,1700,1850,1900,1800。

小 A 心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形。

请求出答案对 1965082719650827 取模的值。

输入格式

第一行一个整数 nn。
第二行 nn 个整数，表示小 A 心中的理想队形。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案 \bmod 19650827mod19650827 的值。

输入输出样例

输入 #1

4
1701 1702 1703 1704

输出 #1

说明/提示

对于 30\%30% 的数据，n \le 100n≤100。
对于 100\%100% 的数据，n \le 1000n≤1000，1000 \le h_i \le 20001000≤hi≤2000。

思路：

区间dp的特点就是可以由小区间去更新大区间，这个题中大的队列可以由较小的队列转移过来（第i个数是放到小队列的前面还是后面组成大队列）

那我们来分析一下对于每一个数，可以放到队前和队后两个方式，我们分别用0，1表示；

区间dp常用的表示f[i,j] 表示从i到j 区间内的状态，我们再此基础上加上转移时的状态0，1

变成f[i,j,0] 表示该区间最后一次转移是放到了左边，那只能是转移的第i个数

同理 f[i,j,1] 表示该区间最后一次转移是放到了右边，那只能是转移的第j个数

状态转移的话

dp有一个通识的特点就是只考虑最后一次操作。

对于一个数。如果要放到右边，那他一定比前一个数大，这个前一个数可以转移的前面，后面都不影响。

所以第j个数要放到右边的话，它可以由f[i,j-1,1] 和 f[i,j-1,0]转移，则j前面的数分别是i和j-1 ，只要大于他们即可转移

//  r从右边进去
			if(a[r]>a[r-1]) f[l][r][1]+=f[l][r-1][1];
			if(a[r]>a[l])   f[l][r][1]+=f[l][r-1][0];

同理i要放到左边的话，它可以由 f[i+1,j,0] f[i+1,j,0] i前面的数分别是i+1和j ，只要小于他们即可

//  l从左边进去 
			if(a[l]<a[l+1]) f[l][r][0]+=f[l+1][r][0];
			if(a[l]<a[r])   f[l][r][0]+=f[l+1][r][1];

状态表示和转移方程都已给出

注意一点，初始化的时候，只存在一个数的情况下，方案数位1，同时只能统一从一个方向转移过来，所以统一成从左边。

代码如下

#include<iostream>

using namespace std;
const int N=1111,mod=19650827;
int f[N][N][2],a[N];
int n;

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i][0]=1;
	for(int len=2;len<=n;len++)
	{
		for(int l=1;l<=n-len+1;l++)
		{
			int r=l+len-1;
			//  l从左边进去 
			if(a[l]<a[l+1]) f[l][r][0]+=f[l+1][r][0];
			if(a[l]<a[r])   f[l][r][0]+=f[l+1][r][1];
			//  r从右边进去
			if(a[r]>a[r-1]) f[l][r][1]+=f[l][r-1][1];
			if(a[r]>a[l])   f[l][r][1]+=f[l][r-1][0];
			f[l][r][1]%=mod;
			f[l][r][0]%=mod;
		}
	}
	cout<<(f[1][n][1]+f[1][n][0])%mod<<endl;
	return 0;
 }