Luogu3205 合唱队

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3205

合唱队

题目描述

为了在即将到来的晚会上有更好的演出效果，作为 $A$ 合唱队负责人的小 A 需要将合唱队的人根据他们的身高排出一个队形。假定合唱队一共 $n$ 个人，第 $i$ 个人的身高为 $h_i$ 米（$1000\le h_i\le 2000$），并已知任何两个人的身高都不同。假定最终排出的队形是 $A$ 个人站成一排，为了简化问题，小 A 想出了如下排队的方式：他让所有的人先按任意顺序站成一个初始队形，然后从左到右按以下原则依次将每个人插入最终棑排出的队形中：

第一个人直接插入空的当前队形中。

对从第二个人开始的每个人，如果他比前面那个人高（$h$ 较大），那么将他插入当前队形的最右边。如果他比前面那个人矮（$h$ 较小），那么将他插入当前队形的最左边。

当 $n$ 个人全部插入当前队形后便获得最终排出的队形。

例如，有 $6$ 个人站成一个初始队形，身高依次为 $1850,1900,1700,1650,1800,1750$那么小 A 会按以下步骤获得最终排出的队形：

$1850$。

$1850,1900$，因为 $1900>1850$。

$1700,1850,1900$，因为 $1700<1900$。

$1650,1700,1850,1900$，因为 $1650<1700$。

$1650,1700,1850,1900,1800$，因为 $1800>1650$。

$1750,1650,1700,1850,1900,1800$，因为 $1750<1800$。

因此，最终排出的队形是 $1750,1650,1700,1850,1900,1800$。

小 A 心中有一个理想队形，他想知道多少种初始队形可以获得理想的队形。

请求出答案对 $19650827$ 取模的值。

输入格式

第一行一个整数 $n$。
第二行 $n$ 个整数，表示小 A 心中的理想队形。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}19650827$ 的值。

输入输出样例

输入 #1

4
1701 1702 1703 1704

输出 #1

8

说明/提示

对于 $30\%$ 的数据，$n\le 100$。
对于 $100\%$ 的数据，$n\le 1000$，$1000\le h_i\le 2000$。

题解

最开始我想的是反向拆解整个序列，用$dp[l][r][0/1]$表示左边拆掉$l$个，右边拆掉$r$个且最后拆掉的为左侧/右侧的人。噼里啪啦一顿操作以后$\mathcal{W}\mathcal{A}$了$3$个点，发现$drak$不必，这题完全可以正向操作，用$dp[l][r][0/1]$表示区间$[l,r]$最后一个人在左侧/右侧的构造方案数，然后把人一个一个加上去。

代码

重构正向代码的时候模数取错了，对着空气$Debug$了半天……退役老咸鱼落泪。

区间$dp$版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1005,mod=19650827;
int n,dp[M][M][2],hei[M];
bool vis[M][M];
void in()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&hei[i]);
}
void ac()
{
	for(int i=1;i<=n;++i)dp[i][i][0]=1;
	for(int len=2;len<=n;++len)for(int l=n-len+1,r;l>=1;--l)
	{
		r=l+len-1;
		if(hei[l]<hei[l+1])(dp[l][r][0]+=dp[l+1][r][0])%=mod;
		if(hei[l]<hei[r])(dp[l][r][0]+=dp[l+1][r][1])%=mod;
		if(hei[r]>hei[r-1])(dp[l][r][1]+=dp[l][r-1][1])%=mod;
		if(hei[r]>hei[l])(dp[l][r][1]+=dp[l][r-1][0])%=mod;
	}
	printf("%d",(dp[1][n][0]+dp[1][n][1])%mod);
}
int main(){in(),ac();}

记忆化搜索版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1005,mod=19650827;
int n,dp[M][M][2],hei[M];
bool vis[M][M];
void in()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	scanf("%d",&hei[i]);
}
void dfs(int l,int r)
{
	if(vis[l][r]||l<0||r>n||l>r)return;
	vis[l][r]=1;
	dfs(l+1,r),dfs(l,r-1);
	if(hei[r]>hei[l])dp[l][r][0]+=dp[l+1][r][1],dp[l][r][0]%=mod;
	if(hei[l+1]>hei[l])dp[l][r][0]+=dp[l+1][r][0],dp[l][r][0]%=mod;
	if(hei[r-1]<hei[r])dp[l][r][1]+=dp[l][r-1][1],dp[l][r][1]%=mod;
	if(hei[l]<hei[r])dp[l][r][1]+=dp[l][r-1][0],dp[l][r][1]%=mod;
}
void ac()
{
	for(int i=1;i<n;++i)if(hei[i]<hei[i+1])vis[i][i+1]=1,dp[i][i+1][0]=dp[i][i+1][1]=1;
	dfs(1,n);
	printf("%d",(dp[1][n][0]+dp[1][n][1])%mod);
}
int main(){in(),ac();}

反向记忆化搜索只有$70$版，望众网络大神纠错：

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const int M=1005,mod=19650827;
int n,ans,que[M],dp[M][M][2];
bool vis[M][M][2];
void in()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	scanf("%d",&que[i]);
}
void dfs(int l,int r,int p)
{
	if(l<0||l>n||r<0||r>n||vis[l][r][p]||l+r>n)return;
//	printf("%d %d\n",l,r);
	vis[l][r][p]=1;
	if(p)
	{
		dfs(l,r-1,0);
		dfs(l,r-1,1);
		if(r>0&&que[l]<que[n-r+1])dp[l][r][p]+=dp[l][r-1][0];
		if(r>0&&que[n-r+2]>que[n-r+1])dp[l][r][p]+=dp[l][r-1][1];
		dp[l][r][p]%=mod;
		return;
	}
	dfs(l-1,r,0);
	dfs(l-1,r,1);
	if(l>0&&que[l-1]<que[l])dp[l][r][p]+=dp[l-1][r][0];
	if(l>0&&que[n-r+1]>que[l])dp[l][r][p]+=dp[l-1][r][1];
	dp[l][r][p]%=mod;
}
void ac()
{
	dp[1][0][0]=dp[0][1][1]=1;
	for(int i=0;i<=n;++i)dfs(i,n-i,0),dfs(i,n-i,1);
//	for(int i=0;i<=n;++i)
//	{
//		for(int j=0;j<=n-i;++j)
//		printf("%d %d:%d %d\n",i,j,dp[i][j][0],dp[i][j][1]);
//	}
	for(int i=0;i<=n;++i)ans+=dp[i][n-i][0]+dp[i][n-i][1],ans%=mod;
	printf("%d",ans>>1);
}
int main()
{
	in(),ac();
}