设数列{an}满足：a1=a2=1，an=7an-1-an-2，n≥3．证明：对于每个n∈N*，an+an+1+2皆为完全平方数．

本文来自  http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/6ed4f309-4bb6-4383-9548-584f8c37066d

证明：易求得数列开初的一些项为：1，1，6，41，281，1926，…，

注意到，a1+a2+2＝22，a2+a3+2＝32，a3+a4+2＝72，a4+a5+2＝182，…，
构作数列{x_n}：x₁=2，x₂=3，x_n=3x_n-1-x_n-2，n≥3，则对每个n∈N^*，x_n为正整数．
我们来证明：对于每个n∈N^*，皆有：an+an+1+2＝

x

2 n

．
引理：数列{x_n}满足：对于每个k∈N^*，xkxk+2−

x

2 k+1

＝5．
引理证明：令f(k)＝xkxk+2−

x

2 k+1

，
则f(k)−f(k−1)＝(xkxk+2−

x

2 k+1

)−(xk−1xk+1−

x

2 k

)
=(xkxk+2+

x

2 k

)−(

x

2 k+1

+xk−1xk+1)
=x_k（x_k+2+x_k）-x_k+1（x_k+1+x_k-1）
=3x_kx_k+1-3x_k+1x_k=0．
所以f（k）=f（k-1），于是f(k)＝f(k−1)＝f(k−2)＝…＝f(1)＝x1x3−

x

2 2

＝5．
回到本题，对n归纳，据数列{a_n}的定义，a1+a2+2＝4＝

x

2 1

， a2+a3+2＝9＝

x

2 2

，
若结论直至n（n≥2）皆已成立，则对于n+1，
有a_n+1+a_n+2+2=（7a_n-a_n-1）+（7a_n+1-a_n）+2
=7（a_n+a_n+1+2）-（a_n-1+a_n+2）-10
=7

x

2 n

−

x

2 n−1

−10
=(3xn)2−

x

2 n−1

−2

x

2 n

−10
=(3xn−xn−1)(3xn+xn−1)−2

x

2 n

−10
＝xn+1(xn+1+2xn−1)−2

x

2 n

−10
=

x

2 n+1

+2(xn−1xn+1−

x

2 n

−5)
=

x

2 n+1

．
即在n+1时结论也成立．
故本题得证．