bzoj2738 矩阵乘法（整体二分+二维树状数组）

Description

　　给你一个N*N的矩阵，不用算矩阵乘法，但是每次询问一个子矩形的第K小数。

Input

　　第一行两个数N,Q，表示矩阵大小和询问组数；
　　接下来N行N列一共N*N个数，表示这个矩阵；
　　再接下来Q行每行5个数描述一个询问：x1,y1,x2,y2,k表示找到以(x1,y1)为左上角、以(x2,y2)为右下角的子矩形中的第K小数。

Output

　　对于每组询问输出第K小的数。

Sample Input

2 2
2 1
3 4
1 2 1 2 1
1 1 2 2 3

Sample Output

1
3

HINT

　　矩阵中数字是109以内的非负整数；

　　20%的数据：N<=100,Q<=1000；

　　40%的数据：N<=300,Q<=10000；

　　60%的数据：N<=400,Q<=30000；

　　100%的数据：N<=500,Q<=60000。

Source

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分析：
我们之前做过区间第K值
实际上这个就是二维平面上的区间第K值

在序列上的时候，我们直接二分，每次二分一个答案M，用树状数组维护区间内有多少元素小于M
在添加修改的时候，我们实际上也是按照数值从小到大添加的
（这样说不是很准确，不一定是严格按照顺序，但是插入的的确是数值小于M的数值）

所以二维的也是一样
我们也要二分一个答案M，并且把小于M的数值扔到“二维树组”中

但是如果把修改和询问放到一起二分的话，难免会很难受
（操作不同我们的处理方式不同，而且会涉及到插入顺序的问题）
这个时候我突然想到了之前的一个小技巧

我们可以先按照数值排序，

在程序中只使用一个变量T，记录我们处理到哪一个修改了

这样我们就可以只二分处理询问了
整个solve的复杂程度就降下来了

tip

因为我们处理修改只用了一个变量T标记

在处理询问的过程中一定不要改变询问的k

//这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int INF=1e9;
const int S=500*500+3;
const int N=60010;
int t[503][503];
struct po{
    int x,y,z;
};
po a[S];
struct node{
    int xa,ya,xb,yb,k,id;
};
node q[N],q1[N],q2[N];
int n,Q,tot=0,ans[N],T=0;

int cmp(const po &A,const po &B) {return A.z<B.z;} 

void add(int x,int y,int z)
{
    for (int i=x;i<=n;i+=(i&(-i)))
        for (int j=y;j<=n;j+=(j&(-j)))
            t[i][j]+=z;
}

int ask(int x,int y)
{
    int ans=0;
    for (int i=x;i>0;i-=(i&(-i)))
        for (int j=y;j>0;j-=(j&(-j)))
            ans+=t[i][j];
    return ans;
}

int sum(node A)
{
    return ask(A.xb,A.yb)-ask(A.xa-1,A.yb)-ask(A.xb,A.ya-1)+ask(A.xa-1,A.ya-1);
}

void solve(int ql,int qr,int L,int R)
{
    if (ql>qr) return;
    if (L==R) {
        for (int i=ql;i<=qr;i++)
            ans[q[i].id]=L;
        return;
    }

    int M=(L+R)>>1;         //二分的答案 
    while (a[T+1].z<=M&&T<tot) add(a[T+1].x,a[T+1].y,1),T++;
    while (a[T].z>M) add(a[T].x,a[T].y,-1),T--;

    int t1=0,t2=0;
    for (int i=ql;i<=qr;i++)
    {
        int tt=sum(q[i]);   //有多少元素 
        if (tt>=q[i].k)
            q1[t1++]=q[i];
        else q2[t2++]=q[i];
    } 
    for (int i=0;i<t1;i++) q[ql+i]=q1[i];
    for (int i=0;i<t2;i++) q[ql+t1+i]=q2[i];

    solve(ql,ql+t1-1,L,M);
    solve(ql+t1,qr,M+1,R);
}

int main()
{
    int maxx=0;
    scanf("%d%d",&n,&Q);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            tot++;
            scanf("%d",&a[tot].z);
            a[tot].x=i; a[tot].y=j; 
            maxx=max(maxx,a[tot].z);
        }
    sort(a+1,a+1+tot,cmp);       //按照z排序,这样方便查找第k小 

    for (int i=1;i<=Q;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&q[i].xa,&q[i].ya,&q[i].xb,&q[i].yb,&q[i].k);
        q[i].id=i;  
    }

    solve(1,Q,0,maxx+1);            //二分询问 

    for (int i=1;i<=Q;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}