21、几何变换与重采样中的插值方法详解

几何变换与重采样中的插值方法详解

在图像处理的几何变换与重采样过程中，插值滤波器起着关键作用。理想的插值滤波器应能让低频信号通过，同时有效消除特定频率区域。具体而言，带通内恒定增益的偏差要尽可能小，以避免图像模糊；阻带区域的旁瓣也要尽可能小，防止图像出现混叠失真。接下来，我们将详细介绍几种基于分段多项式的插值函数，从零阶到三阶，还会提及一种非多项式插值器。

1. 零阶插值（最近邻插值）

零阶插值是最简单的插值函数，也被称为最近像素插值。当出现特定情况时，我们会选择距离目标像素最近的四个像素，将其中距离最短的像素 $P_0(x’, y’)$ 赋值给输出图像。其插值函数定义如下：
[
h_0(x, y) =
\begin{cases}
1, & \text{if } -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}; -\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2}\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]
在这种情况下，无需进行卷积运算，插值结果可通过以下公式得到：
[
f_I(x, y) = f_s[INT(x + 0.5), INT(y + 0.5)]
]
其中，$INT(z)$ 表示小于实数 $z$ 的最大整数。结合相关图像，我们可以进一步表示为：
[
f_I(P_0) = f_S(P_k)
]
其中，$k$ 满足 $i = 1, 4$ 且 $d_k = \min_i d_i$，$P_k$ 是输入图像中距离 $P_0$ 最近的像素，$f_S$