测度论与概率论基础学习笔记7——3.1积分的定义

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学习测度论，就能得到对积分的更本质和深刻的理解。

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1.非负简单函数的积分
先补充简单函数的概念：(造化不够，经常漏概念！)
定义：简单函数：设$f(x)$的定义域$E$可分为有限个不相交的可测集$E_1,E_2,\dots ,E_n$，且${\cup }_i{E}_i=E$，若函数在每个可测集$E_i$上的取值都为一个常数$C_i$，则称其为简单函数。所以简单函数也可以说成是阶梯函数。

设$f$是简单函数，则存在测度空间$(X,\mathcal{F},\mu )$的有限可测分割{Ai}\{A_i \}{Ai​}和实数{ai}\{a_i\}{ai​}使得$f={\sum }_i{a}_i{I}_{A_i}$，其中$I$是指示函数。因此，我们可以如下定义积分：
$${\int }_{X}fd\mu =\sum _{i=1}^n{a}_i\mu (A_i)$$
因此，该积分本质上就是（有限可测分割的）测度的加权平均和。

命题1：非负简单函数积分的性质：

1. 指示函数的积分就是测度:${\int }_X{I}_{A}d\mu =\mu (A)$
2. 非负
3. 线性性
4. 大小关系：若$f\ge g$，则${\int }_{X}fd\mu \ge {\int }_{X}gd\mu$
5. 极限：若${\lim }_{n\to \infty }{f}_n\ge g$，则${\lim }_{n\to \infty }{\int }_X{f}_{n}d\mu \ge {\int }_{X}gd\mu$

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2.非负可测函数的积分
讲完了非负简单函数，再看非负可测函数的积分。定义如下：
∫Xfdμ=defsup⁡{∫Xgdμ:g非负简单且g≤f}\int_Xfd\mu\stackrel{def}{=} \sup\{\int_Xgd\mu:g非负简单且g\le f\}∫X​fdμ=defsup{∫X​gdμ:g非负简单且g≤f}

命题2：非负可测函数积分的性质
线性性与非负性和非负简单函数积分相同，下面重点看这个：
若{fn}\{f_n\}{fn​}是非负简单函数且$f_n\uparrow f$，则${\lim }_{n\to \infty }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu$

这解决了函数列极限的积分问题。事实上，对于Riemman积分，如果函数列的极限不可积，那就不好了，但是Lebesgue积分解决了这个问题。
实际上，粗浅地讲，本节测度论中的积分与Riemman积分的不同之处就在于前者是对$\mu$（值域）积分，而后者是分割自变量$x$。如下图所示，上面是Riemman积分，下面是本节所讲的积分。Riemman积分是无限分割，测度论的积分是有限分割。

特别地，如果Lebesgue可测函数$g$对于Lebuesgue测度$\lambda$的积分存在，则称之为Lebesgue积分，即：
$${\int }_{\mathbf{R}}g(x)dx\stackrel{def}{=}{\int }_{\mathbf{R}}gd\lambda$$
因此，Riemman积分实际上是Lebesgue积分的特殊情形。
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3.一般可测函数的积分
对于不一定非负的可测函数，我们将其划分为正部和负部，正部就是其为正的部分，负部就是其为负的部分，二者是互斥的，因此：
$$f=f^{+}-f^{-}$$
则根据前面积分的可加性，有${\int }_{X}fd\mu ={\int }_X{f}^{+}d\mu -{\int }_X{f}^{-}d\mu$
因此，若等式右边的两个积分都为无穷，则左边的积分没有意义；否则称为存在或有意义。同时，若右边的两个积分都为有限数，就称$f$是可积的。

定理3：
设$f$是可测空间$(X,\mathcal{F},\mu )$上的可测函数：

1. 若$f$的积分存在，则$|{\int }_{X}fd\mu |\le {\int }_X|f|d\mu$
2. $f$可积当且仅当$|f|$可积
3. 若$f$可积，则$|f|<\infty a.e.$

定理4：
设$f,g$是可测空间$(X,\mathcal{F},\mu )$上的可测函数：

1. 零测集处积分为0.即对$A\in \mathcal{F},\mu (A)=0$,有${\int }_{A}fd\mu =0$。
2. 若$f\ge ga.e.$,则${\int }_{X}fd\mu \ge {\int }_{X}gd\mu$
3. 若$f=ga.e.$，则只要其中任一个的积分存在，另一个的积分也存在而且两个积分值相等。

上面两个定理的证明很漂亮，在此就不记了（证明记了也是忘），这些定理基本上还是比较直观的。