测度论与概率论基础学习笔记6——2.4可测函数的收敛性

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在前面，我们已经学了各种集合系的概念、测度的定义和性质、外测度、测度的扩张和测度空间的完备化。今天主要记录可测函数的收敛性，这部分内容和数学分析是比较相似的。

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1.补充可测函数的概念，之前没有说清楚：

1.1 Borel集合系
我们知道$\sigma$域对交、补、可列并运算是封闭的。特别地，我们把${\mathbb{R}}^n$上由一切开集构成的开集族，其生成的$\sigma$域称作${\mathbb{R}}^n$的Borel$\sigma$域，其中的集合称为Borel集。我们用${\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}$表示$\mathbb{R}$上的Borel集合系。根据定义，也即：
$${\mathcal{B}}_{\mathbf{R}}=\sigma ({\mathcal{O}}_{\mathbf{R}})$$
其中${\mathcal{O}}_{\mathbf{R}}$是$\mathbb{R}$中开集组成的集合系。

1.2 可测函数
我们知道，正负无穷是特殊的数。为此定义广义实数集：R′=R∪{−∞}∪{+∞}\mathbf R'=\mathbb R \cup \{-\infty\} \cup \{+\infty\}R′=R∪{−∞}∪{+∞}.相应地，定义${\mathbf{R}}^{\prime }$上的Borel集合系：
BR′=σ(BR,{+∞},{−∞})\mathscr B_{\mathbf R'} = \sigma(\mathscr B_{\mathbf R},\{+\infty\},\{-\infty\})BR′​=σ(BR​,{+∞},{−∞})
因此，从测度空间$(X,\mathcal{F})$到$({\mathbf{R}}^{\prime },{\mathcal{B}}_{{\mathbf{R}}^{\prime }})$的可测映射称为$(X,\mathcal{F})$上的可测函数。
可以看到，可测函数的函数值可以是无穷大。相应地，如果函数是从$(X,\mathcal{F})$到$(\mathbf{R},{\mathcal{B}}_{\mathbf{R}})$上的映射，就可以叫做有限值可测函数。随机变量就是一种有限值可测函数。
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2.可测函数的收敛性

首先先学习三个概念：几乎处处收敛；几乎一致收敛；按测度收敛。

2.1几乎处处收敛
这里的收敛性都是强调几乎(almost)，顾名思义，几乎怎样就是不怎样的概率（测度）是0.
定义1： 设{fn}\{f_n\}{fn​}和$f$是测度空间$(X,\mathcal{F},\mu )$上的可测函数，若
$$\mu (\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\ne f)=0$$
则说可测函数列{fn}\{f_n\}{fn​}几乎处处(almost everywhere,a.e.)以$f$为极限。如果，$f$几乎处处有限且$f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$，则称{fn}\{f_n\}{fn​}几乎处处收敛至$f$.
上面的式子也可写为：
$$\mu (\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=f)=\mu (X)$$
当然，在概率空间中，等号右边的值就是1.
将{lim⁡n→∞fn≠f}\{\lim_{n\to\infty}f_n\ne f\}{limn→∞​fn​​=f}写成集合极限的形式（我认为是上极限），有如下命题：
命题1： $f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$当且仅当
μ(∩m=1∞∪n=m∞{∣fn−f∣≥ε})=0\mu (\cap_{m=1}^\infty \cup_{n=m}^\infty \{|f_n-f|\ge \varepsilon\})=0μ(∩m=1∞​∪n=m∞​{∣fn​−f∣≥ε})=0

2.2 几乎一致收敛

定义2： 设{fn}\{f_n\}{fn​}和$f$是测度空间$(X,\mathcal{F},\mu )$上的可测函数，若对任给$\epsilon >0,\exists A\in \mathcal{F}：\mu (A)<\epsilon$且
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\notin A}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=0$$
则说{fn}\{f_n\}{fn​}几乎一致(almost uniform,a.u.)收敛到$f$。
这个定义与数学分析中一致收敛的定义有异曲同工之意。一致收敛是比处处收敛(点态收敛)更严格的收敛。
几乎一致收敛也有一个等价的命题：
命题2： $f_n\stackrel{a.u.}{\to }f$当且仅当
lim⁡m→∞μ(∪n=m∞{∣fn−f∣≥ε})=0\lim_{m\to\infty}\mu (\cup_{n=m}^\infty \{|f_n-f|\ge \varepsilon\})=0m→∞lim​μ(∪n=m∞​{∣fn​−f∣≥ε})=0
(Note：说实话，我感觉命题1和命题2是一回事…，但只是在测度有限的情况下才是一回事，待悟。）

2.3按测度收敛
顾名思义：（老顾名思义了）
定义3： 设{fn}\{f_n\}{fn​}和$f$是测度空间$(X,\mathcal{F},\mu )$上的可测函数，若对任给$\epsilon >0$:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (f_n-f|\ge \epsilon )=0$$
则称$f_n\stackrel{\mu }{\to }f$.

2.4 三者的关系
如前所述，几乎一致收敛是最严格的，因此：
$$f_n\stackrel{q.u.}{\to }f\Rightarrow f_n\stackrel{a.e.}{\to }f，f_n\stackrel{\mu }{\to }f$$
在测度有限的条件下，a.e.收敛和a.u.收敛等价。

3.讨论概率空间
对概率空间$(X,\mathcal{F},P)$来说，依测度收敛就称作依概率收敛。对于之前说过的准分布函数（单调非降右连续）$F$，若满足${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1,{\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$,则其称作分布函数，定义为：
F(x)=P{f≤X}F(x)=P\{f \le X\}F(x)=P{f≤X}
且称$f$服从$F$.

定义4.左连续逆
设$F$是一准分布函数，$t\in (F(-\infty ),F(+\infty ))$，令
F←(t)=inf⁡{x∈R:F(x)≥t}F^{\leftarrow}(t)=\inf \{x\in\R :F(x)\ge t\}F←(t)=inf{x∈R:F(x)≥t}
为$F$的左连续逆。

理解：逆的概念，自然是单独的自变量和函数值的关系，在这里，定义为使得$F$大于某个值的自变量的下确界。想象$F$是一个阶梯状的分布函数，则对于某一个$t$的范围，其左连续逆是同一个$x$。则有如下充要关系：
$$F^{\leftarrow }(t)\le x\iff F(x)\ge t$$

定理5.
对任何概率分布函数$F$，必存在一个概率空间$(X,\mathcal{F},P)$和其上的一个随机变量$f$，使得$f\sim F$。

证明：考虑均匀分布的分布函数：$U(t)=t,\forall t\in (0,1)$，考察一个复合函数$F^{\leftarrow }\circ U$: