codeforces 615D - Multipliers_凸优化 codeforces-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/with_passion/article/details/50544109

本文详细解析了Codeforces平台上的615D题目的解题策略，重点在于理解如何通过计算特定序列的乘积，再求其所有约数的乘积，并应用取模操作。通过样例模拟，揭示了求解过程中的关键步骤及数学原理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:给定一个2e5范围内的整数m,之后输入m个2e5内的素数(当然可以重复了)，问把这些输入的素数全部乘起来所得的数的约数的乘积mod(1e9+7)等于多少？

思路:对题目样例模拟之后很容易就知道，对于每个素数pi出现的次数m就有pi^(m+1)*m/2,并且对于其他的素数还要在此基础上乘以前面的d(详见程序),但是在加入该素数之后对于前面出现的素数的结果也是需要增加的，即ans = pow_mod(ans,vb+1),表示对前面出现的每个素数每加一个素数对前面出现的指数的变化； **里面对于指数部分，d = d*(vb+1)%(mod-1);之所以%(mod-1)是因为这里的d是指数不是结果，对于素数mod;(a^n)%mod = a^(n%(mod - 1))%mod;

<code> 108ms
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1000000007;
ll d = 1,ans = 1;
map<ll,ll> mp;
ll pow_mod(ll a,ll n)
{
    return n?pow_mod(a*a%mod,n>>1)*(n&1?a:1)%mod:1;
}
int main()
{
    int m,i,p;
    cin>>m;
    for(i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&p),mp[p]++;
    for(auto v:mp){
        ll va = v.first,vb = v.second;
    /*pow_mod(ans,vb+1)表示都前面处理过现在的结果，
    *pow_mod(va,(vb+1)*vb/2)表示当前单个v时的结果，
    再来pow_mod(...,d)表示前面处理的对当前的系数影响*/
        ans = pow_mod(ans,vb+1)*pow_mod(pow_mod(va,(vb+1)*vb/2),d)%mod;//并不是ans *= ...
        d = d*(vb+1)%(mod-1);//欧拉函数的性质
    }
    cout<<ans;
}