海森矩阵（Hessian matrix）

海森矩阵在大规模优化及MATLAB实现
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海森矩阵是描述多元函数二阶偏导数的方阵，用于牛顿法解决大规模优化问题。当函数二阶导数连续时，矩阵对称，其行列式可以帮助判断临界点的性质：H>0表示局部极小点，H<0表示鞍点，H=0则需更高阶导数判断。在MATLAB中可以通过特定函数获取海森矩阵。

转自：http://hi.baidu.com/imheaventian/item/c8591b19907bd816e2f98612

 

在数学中，海森矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

f(x_1, x_2, \dots, x_n),

如果 f 所有的二阶导数都存在，那么 f 的海森矩阵即：


H(f</

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海森矩阵（Hessian Matrix）在SLAM图优化和点云配准中的应用介绍
qq_36812406的博客
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以经典的图优化中EdgeSE2为例，创建顶点和边。// 设置线性求解器// 添加两个顶点// 添加边（测量为 v1 到 v2 的位姿）// 初始化完毕，计算 Hessian// 手动计算一次误差、雅可比和 Hessian// J1, J2// 获取雅可比矩阵// 信息矩阵// 手动构造 H 和 breturn 0;内容作用Hessian 矩阵HHH描述误差函数的局部二阶结构如何构建H∑iJi⊤J。
有限差法(Finite Difference)求梯度和Hessian Matrix(海森矩阵)的python实现
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Hessian 矩阵（海森矩阵）
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Hessian 矩阵（海森矩阵）是一个包含二阶偏导数信息的方阵，在数学和优化中起着重要作用。对于一个多元函数，其 Hessian 矩阵是由其各个变量的二阶偏导数组成的矩阵。在优化问题中，通过分析 Hessian 矩阵的特征值和特征向量，可以判断局部极值点的性质。，都是正值，说明这个函数在原点附近是一个局部最小值点。Hessian 矩阵在优化算法中的应用非常广泛，特别是对于牛顿法等利用二阶导数信息的算法。是一个沿着 x 方向开口朝上的二次型，所以原点是一个局部最小值点。是变量的索引，表示函数对变量。
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梯度矩阵、雅可比矩阵与海森矩阵：多变量函数分析的三核心矩阵
weixin_41685151的博客
10-21 621
在数学的世界里，多变量函数的分析一直是研究的重点之一。当我们试图理解一个函数在多维空间中的行为时，梯度矩阵、雅可比矩阵和海森矩阵这三个概念就显得尤为重要。它们像是多变量函数的“三剑客”，各有各的定义、意义和相互关系，共同帮助我们洞察函数的奥秘。
海森(hessian)矩阵
图像学习之旅
04-05 5198
参考链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_34886403/article/details/83589108 https://baike.baidu.com/item/%E9%BB%91%E5%A1%9E%E7%9F%A9%E9%98%B5/2248782?fr=aladdin 0.基本介绍 黑塞矩阵（Hessian Matrix），是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化
海森矩阵（Hessian）
vontear的专栏
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海赛矩阵       在数学中，海赛矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下： 如果f所有的二阶导数都存在，那么f 的海赛矩阵即： H(f)ij(x) = DiDjf(x) 其中 ，即 （也有人把海色定义为以上矩阵的行列式） 海赛矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。  混合偏导
Hesse矩阵（海森矩阵）
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在数学中，海森矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下： 如果 f 所有的二阶导数都存在，那么 f 的海森矩阵即： 其中 ，即 （也有人把海森定义为以上矩阵的行列式） 海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。 目录   [隐藏]  1 混
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泰勒公式和海森矩阵(Hessian-matrix)
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一、泰勒公式 1.背景介绍     在数学中，泰勒公式（Taylor’s Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。这个公式来自于微积分的泰勒定理（Taylor’s theorem），泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式（T...
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对梯度再求导生成的矩阵为黑塞矩阵![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200416134624480.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0REV0REWlk=,size_16,co...
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一、总述 设自变量：x = ( x1, x2 ,⋯, xn )T 因变量有两种情况： 一维f(x)： 一阶导数构成的向量为梯度向量 g(x) 二阶导数构成的矩阵为Hessian矩阵(海森矩阵) 多维 f(x) =(f1(x), f2(x), ⋯ , fm(x))T： 此时的一阶导数构成的矩阵为Jacobian矩阵（雅克比矩阵） 二、海森Hessian矩阵...
hessian矩阵
piaodexin的博客
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黑塞矩阵（Hessian Matrix）， 又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题。 函数方程为y=f(x1,x2,x3,.......xn),则hessian矩阵就是：因为求导的顺序不影响最终结果，所以它
【图像处理】海森矩阵
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文章目录导论海森矩阵的定义海森矩阵的意义泰勒展开及海森矩阵 导论 Frangi滤波[1]^{[1]}[1]是Frangi在1998年，运算Hessian矩阵的特征值构造出了一种滤波器来增强血管结构。Hessian矩阵实际是一个二阶偏导矩阵，矩阵的特征向量在图像边缘检测方面有着重要的作用。下面，我们先看一下什么是hessian矩阵。 海森矩阵的定义 一个二元Hessian矩阵定义为： H=[IxxIxyIxyIyy] H=\begin{bmatrix} {I_{xx}}&{I_{xy}}\\ {I_{
Hessian matrix
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12-04
<think> 嗯，用户这次专门询问Hessian矩阵的相关信息。之前讨论信赖域算法时提到过它，但用户显然需要更系统的解释。从ta引用的三篇资料来看，用户可能正在学习优化算法，需要理解这个核心概念。 用户提供的引用很有价值：第一篇是定义和历史背景，第二篇展示具体计算实现，第三篇涉及优化应用。我需要整合这些内容，同时补充基础原理。考虑到用户上次能处理数学表达式，回答可以适当深入。 关于Hessian矩阵，重点要讲清楚三点：数学本质（二阶导数结构）、几何意义（曲率）和计算实践（离散近似）。特别要注意第二篇引用里的Matlab实现——那个高斯滤波器方法是实际图像处理中的经典技巧，值得展开说明。 用户可能隐含的需求是理解其在优化中的作用。第三篇提到拟牛顿法回避直接计算Hessian逆矩阵，这点需要强调：虽然牛顿法依赖Hessian，但现代优化常避免显式计算它。 突然想到用户可能混淆了Hessian与Jacobian。虽然不在此问范围内，但回答时可以通过对比帮助建立概念网络。另外，曲率特征（正定/负定）对理解优化收敛性至关重要，必须包含示例说明。 最后保留的实践建议很必要，因为纯理论容易让用户迷失。给出具体调用Hessian2D()的代码片段（如第二篇引用），能帮助ta建立直观认知。 </think>Hessian 矩阵（海森矩阵）是**多元函数二阶偏导数构成的方阵**，用于描述函数在某一点的**局部曲率**信息。以下是其核心概念的分步说明： --- ### 1. **数学定义** 对于定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的多元函数 $f(\mathbf{x})$（其中 $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T$），其 Hessian 矩阵 $\mathbf{H}$ 是一个 $n \times n$ 的对称矩阵，元素为函数的所有二阶偏导数： $$ \mathbf{H}(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} $$ 由 Clairaut 定理，若二阶偏导数连续，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$，矩阵对称[^1]。 --- ### 2. **几何意义：描述局部曲率** - **正定 Hessian**：函数在该点呈“碗状”向上凸（局部极小值）。 - **负定 Hessian**：函数在该点呈“倒碗状”向下凸（局部极大值）。 - **不定矩阵**：函数在该点类似“马鞍面”（鞍点）。 - **半正定/半负定**：曲率在某些方向为零（可能存在平坦区域）。 > **示例**：函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 的 Hessian 为 $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$，正定，对应极小值点 $(0,0)$。 --- ### 3. **在优化算法中的核心作用** #### (1) **牛顿法** 利用 Hessian 求函数极小值： $$ \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k - \mathbf{H}^{-1}(\mathbf{x}_k) \nabla f(\mathbf{x}_k) $$ 通过二阶近似模型直接跳到临界点，收敛速度快（二阶收敛）[^3]。 #### (2) **拟牛顿法（如 BFGS, DFP）** 避免显式计算 Hessian 逆矩阵，通过迭代近似 $\mathbf{H}^{-1}$，平衡计算效率与收敛性[^3]。 #### (3) **信赖域算法** 在局部用二次模型 $m(\mathbf{d}) = f(\mathbf{x}_k) + \nabla f(\mathbf{x}_k)^T \mathbf{d} + \frac{1}{2} \mathbf{d}^T \mathbf{H}(\mathbf{x}_k) \mathbf{d}$ 近似目标函数，在信赖域内求解子问题[^1]。 --- ### 4. **数值计算（以图像处理为例）** 引用[2]给出了用高斯滤波器近似 Hessian 的 MATLAB 实现： ```matlab function [Dxx, Dxy, Dyy] = Hessian2D(I, Sigma) % 输入：图像 I，高斯核参数 Sigma % 输出：Hessian 矩阵的二阶偏导数分量 Dxx, Dxy, Dyy [X,Y] = ndgrid(-round(3*Sigma):round(3*Sigma)); % 构建高斯二阶导数滤波器 DGaussxx = 1/(2*pi*Sigma^4) * (X.^2/Sigma^2 - 1) .* exp(-(X.^2 + Y.^2)/(2*Sigma^2)); DGaussxy = 1/(2*pi*Sigma^6) * (X .* Y) .* exp(-(X.^2 + Y.^2)/(2*Sigma^2)); DGaussyy = DGaussxx'; % 转置得到 Dyy 滤波器 % 卷积计算偏导数 Dxx = imfilter(I, DGaussxx, 'conv'); Dxy = imfilter(I, DGaussxy, 'conv'); Dyy = imfilter(I, DGaussyy, 'conv'); end ``` **原理**：用高斯函数的二阶导数作为滤波器，卷积图像得到近似的 Hessian 分量[^2]。 **应用**：常用于边缘检测（如 Frangi 滤波器）、图像增强。 --- ### 5. **特性与挑战** - **优势**：提供更精确的曲率信息，加速优化收敛。 - **局限**： - 计算成本高：$O(n^2)$ 存储和 $O(n^3)$ 求逆复杂度。 - 可能非正定：导致牛顿法搜索方向错误。 - **解决方案**：拟牛顿法、Hessian 修正技术（如加对角矩阵确保正定性）。 --- ### 实践建议 1. **小规模问题**：直接计算解析 Hessian（符号微分或自动微分）。 2. **大规模问题**：采用拟牛顿法或有限差分近似。 3. **非凸函数**：结合信赖域策略或修改 Hessian 确保正定性。
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