Hessian matrix黑塞矩阵（海森矩阵）和雅克比矩阵Jacobian matrix

最新推荐文章于 2023-09-05 17:25:26 发布
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本文探讨了黑塞矩阵和雅克比矩阵在优化问题中的作用。黑塞矩阵是目标函数对变量的二阶偏导数，用于描述曲面在某点的凹凸性，其特征值决定了极值点的性质。雅克比矩阵则是目标函数的一阶偏导数矩阵。正定的黑塞矩阵对应局部极小值，负定则对应局部极大值。同时，介绍了判断矩阵正定性的条件，如顺序主子式大于零和特征值全为正。

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对梯度再求导生成的矩阵为黑塞矩阵
在这里插入图片描述雅克比矩阵是一个m*n的矩阵
目标函数的梯度的雅克比矩阵就是目标函数的Hessian矩阵。
对于黑塞矩阵的特征值：就是形容在该点附近特征向量的凹凸性。特征值越大，凸性越强。
如果是正定矩阵，则临界点处是一个局部极小值；
如果是负定矩阵，则临界点处是一个局部极大值；
如果是不定矩阵，则临界点处不是极值。
实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是各阶顺序主子式都大于0.
对于实二次型矩阵还有一个判断方法：实二次型矩阵为正定二次型的充要条件是：矩阵的特征值全部大于0；为负定二次型的充要条件是：矩阵的特值全部小于0,；否则是不定的。

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pytorch 高阶导数、雅克比矩阵、海塞矩阵、海塞向量积 （Higher order derivative,Jacobian matrix, Hessian vector product)
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计算 2D 矩阵 Hessian 的特征值和特征向量作为灰度图像。 缩影通过以下代码获得： I = mat2gray(imread('cameraman.tif')); [n, m] = 尺寸(I); idx = (1:20:(n*m))'; [行，列] = meshgrid(1:m, 1:n); [l, v] = Hessian2Ddec(I, 10, true); 数字; 显示（一）； 坚持，稍等; 箭袋（列（idx），行（idx），v（idx+n*m*2），v（idx+n*m*3），'b'）
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在机器学习课程里提到了这个矩阵，那么这个矩阵是从哪里来，又是用来作什么用呢?先来看一下定义： 黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题。 一般来说,
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### 定义 - **Jacobian矩阵**：Jacobian矩阵是多元向量值函数的一阶偏导数组成的矩阵。对于一个从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的可微函数 $\mathbf{f}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，其Jacobian矩阵 $\mathbf{J}$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$，这里 $\mathbf{f}=(f_1,f_2,\cdots,f_m)^T$ 且 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ [^1]。 - **Hessian矩阵**：Hessian矩阵是一个多元函数的二阶偏导数组成的方阵。对于一个二阶可微的标量函数 $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，其Hessian矩阵 $\mathbf{H}$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$。Hessian等价于梯度的Jacobian矩阵 [^1][^2]。 ### 性质 - **Jacobian矩阵**： - 它描述了函数在某一点的局部线性近似。在某点的Jacobian矩阵乘以一个小的位移向量，可以近似得到函数在该位移下的变化。 - 当 $m = n$ 时，Jacobian矩阵的行列式称为Jacobian行列式，它在坐标变换中有着重要的作用，例如在多重积分的变量替换中。 - **Hessian矩阵**： - 若函数的二阶偏导数连续，则Hessian矩阵是对称矩阵，即 $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}$ [^2]。 - Hessian矩阵的正定性、负定性或不定性可以用来判断函数的局部极值情况。若Hessian矩阵在某点正定，则函数在该点取得局部极小值；若负定，则取得局部极大值；若不定，则该点为鞍点。 ### 应用 - **Jacobian矩阵**： - 在机器人学中，Jacobian矩阵用于描述机器人关节空间的速度与末端执行器空间速度之间的关系。 - 在数值优化中，如牛顿 - 拉夫逊方法求解非线性方程组时，Jacobian矩阵用于迭代更新解的估计值。 - 在计算机图形学的变形算法中，Jacobian矩阵可用于描述物体的局部变形情况。 - **Hessian矩阵**： - 在优化算法中，如牛顿法求解无约束优化问题时，Hessian矩阵用于计算搜索方向，以更快地收敛到最优解 [^1]。 - 在机器学习中，Hessian矩阵可用于分析模型的曲率信息，帮助理解模型的局部结构和泛化能力。 - 在图像处理中，Hessian矩阵可用于特征检测，例如检测图像中的角点和边缘。 ### 代码示例 以下是Python中使用`numpy`库计算简单函数的Jacobian矩阵和Hessian矩阵的示例： ```python import numpy as np from autograd import jacobian, hessian # 定义一个多元向量值函数 def f(x): return np.array([x[0]**2 + x[1], x[0] * x[1]]) # 定义一个多元标量函数 def g(x): return x[0]**2 + x[1]**2 # 计算Jacobian矩阵 J = jacobian(f) x = np.array([1.0, 2.0]) jacobian_matrix = J(x) print("Jacobian矩阵:") print(jacobian_matrix) # 计算Hessian矩阵 H = hessian(g) hessian_matrix = H(x) print("Hessian矩阵:") print(hessian_matrix) ```
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