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RSS订阅原创 随机过程-4.高斯过程
本文介绍了高斯过程和布朗运动的定义与性质。高斯过程是指任意有限维分布都是多元高斯分布的随机过程。多元高斯分布的概率密度函数和特征函数被给出，并阐述了其线性变换后的分布形式。当协方差矩阵的交叉项为零时，分量独立。布朗运动是一种特殊的高斯过程，具有零均值、方差为t、协方差为min(t,s)的特性。文章还推导了布朗运动协方差的计算方法，并指出布朗运动几乎处处连续但不可微。
2025-09-17 11:03:50
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原创 随机过程-3.连续时间马尔科夫链
连续时间马尔科夫链是可数状态空间的随机过程，具有无记忆性。其转移概率矩阵P(t)满足C-K方程P(t+s)=P(t)P(s)。通过Q矩阵描述瞬时转移率，满足行和为零。标准链满足P(0)=I，停留时间服从指数分布。嵌入链提取跳转信息形成离散链。Kolmogorov方程分前后向两种形式描述演化。平稳分布π满足πQ=0，不可约链存在唯一平稳分布条件为级数收敛。生灭过程作为典型应用，其平稳分布可由细致平衡条件递推得到。纯生过程没有平稳分布。
2025-09-17 11:02:36
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原创 随机过程-2.泊松过程
本文介绍了泊松过程的基本定义、性质及其拓展。标准泊松过程需满足四个条件：初始为0、平稳增量性、独立增量性和微元限制。其概率分布为泊松分布，参数λ表示单位时间平均到达率。文章详细推导了泊松过程的联合分布、条件分布、到达时刻分布和事件间隔分布等性质，其中事件间隔服从指数分布且具有无记忆性。特别讨论了顺序统计量在泊松过程中的应用，并通过例题展示了条件期望的使用方法。最后介绍了两种拓展形式：非齐次泊松过程（λ随时间变化）和复合泊松过程（每次到达事件数可变）。全文系统梳理了泊松过程的理论框架和应用方法。
2025-09-17 11:01:54
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原创 随机过程-1.离散时间马尔科夫链
摘要 离散时间马尔科夫链(DTMC)是一种具有无后效性的随机过程，其未来状态仅依赖于当前状态。核心概念包括： 转移概率：用矩阵或状态转移图表示状态间的转移关系 C-K方程：描述多步转移概率的递推关系 状态分类： 可达性、相通性、闭集等基本关系 不可约性、周期性等长期性质 常返性分析：通过首达概率和平均返回时间区分常返态与瞬时态 极限行为：研究平稳分布和极限分布的存在性及计算方法 马尔科夫链的分析依赖于状态分类和转移概率的性质，其极限行为与常返性密切相关，在有限状态或不可约情况下存在确定的平稳分布。
2025-09-17 11:00:32
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原创 随机过程-0.数学常识
本文系统介绍了概率论的核心概念和公式。主要内容包括：1）条件概率、全概率公式和贝叶斯公式；2）概率分布与概率密度函数，涵盖离散和连续随机变量的定义及计算方法；3）随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差，以及它们的性质和相互关系；4）随机过程的平稳性分析；5）概率母函数的定义、性质及其在随机变量求和中的应用；6）特征函数的定义及其与概率分布的关系。这些基础理论为概率统计的应用提供了重要工具。
2025-09-17 10:59:37
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空空如也
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