图与网络分析

主要内容

1. 最小树
2. 最短有向路
3. 最大流
4. 最小费用
5. 运输问题
6. 指派问题

几个概念

回路，简单回路，连通，连通分支。有向路，简单有向路。

图的割集

在图G中，如果删去一条边，使图的连通分支数量增加，则称它为图G的割边。当除去边割后，连通图变为不连通，而除去边割的真子集后，连通图仍然连通

支撑树

如果G=(V，E)的支撑子图G’=(V’,E’)是树，称其为G的支撑树，G中属于支撑树的边称为树枝，不属于支撑树的边称为弦。
图G有支撑树的充要条件是G是连通图。
具有最小权的支撑树称为最小支撑树（最小树）。

最小支撑树的Kruskal算法

将所有边按权值从小到大排序，从权值最小的边开始选树枝，如果可能形成圈则跳过，直到选够顶点数减1 的树枝。

T 是最小支撑树的充要条件是：
加入任何弦形成的圈中，弦的权值最大。（Kruskal算法）
任何树枝都是所在割集中权值最小的边。（Dijkstra 算法）

最小支撑树Dijkstra算法

从图G的n-1个独立割集中每一个都选取一条权最小的边，从而构成一个最小树。

不定期最短路问题的Dijkstra 算法

连通图G=(V,E)各边$(v_i,v_j)$有权$l_{ij}$（$l_{ij}=\infty$表示两点间无边），任意给定两点$v_i,v_j$，求一条道路，使它是从到的所有道路中总
权最小的道路

$$L(\mu*)=\min_{\mu\in \Omega_{st}}L(\mu)=\sum_{(v_i,v_j)\in \mu}l_{ij}$$
条件所有权值非负。
值迭代公式
$$f_1(v_j)=l_{1j}$$
$$f_{k+1}(v_j)=\min\{f_k(v_j)+l_{ij}\}$$
每次确定一个不变的函数值，同时仅修改经过新确定的不变节点到其他节点的路程。
用值迭代法求非负权值不定期最短路问题的特点：
每步迭代后有一个新的最优函数值不再发生变化，这个新最优函数值是未固定的函数值中数值最小的

最大流问题

确定使网络总流量达到最大的可行流

$$\max W\\s.t.\sum_{(v_i,v_j)\in E}X_{ij}-\sum_{(v_i,v_i)\in E}X_{ji}=\begin{cases}W\quad if \quad i=s\\ 0 \quad if \quad i\neq st\\-W \quad if \quad i=t\end{cases}$$

• 等于割集容量的可行流一定是最大流
• 目标：从发点到收点的总输油量最大
• 约束： 1）容量约束，各边流量不大于容量
  2）流量平衡约束，各点进出流量总和相等
  流量平衡约束
  $$\sum_{(v_i,v_j)\in E}x_{ij}=\sum_{(v_k,v_j)\in E}x_{kj}\quad \forall v_i\in V, i\neq s,t$$
  容量约束
  $$0\leq x_{ij}\leq c_{ij},\quad \forall (v_i,v_j)\in E$$
  增广链定理
  一个可行流是最大流当且仅当不存在他的增广链。

可增广链

设$\mu$是从$v_s$到$v_t$的一条链，定义$\mu$的方向为从$v_s$到$v_t$的方向，对于$\mu$上的任意边，如果其方向和$\mu$
相同则称其为前向边，否则为后向边，用$\mu^+$和$\mu^-$
分别表示前向边和后向边的集合，如果$X=\{x_{ij}\}$是一个可行流，且满足

$$0\leq x_{ij}<c_{ij} \quad \forall (v_i,v_j)\in \mu^+\\0<x_{ij}\leq c_{ij} \quad \forall (v_i,v_j)\in \mu^-$$
则称 μ