使用Matlab计算拉普拉斯正变换和逆变换

weixin_69034136

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于 2025-03-30 21:49:32 首次发布

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一、拉普拉斯变换的定义式

当函数f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式

考虑到在实际问题中遇到的总是因果信号，令信号起始时刻为零，于是在t<0的时间范围内f(t)等于零，这样，正变换表示式的积分下限可从零开始

但 $F(\omega)$ 仍包含有 $- \omega$ 与 $+ \omega$ 两部分分量，因此逆变换式的积分限不改变。再从狄里赫利条件考虑，在此条件之中，绝对可积的要求限制了某些增长信号如 $e^{at}(a>0)$ 傅里叶变换的存在，而对于阶跃信号、周期信号虽未受此约束，但其变换式中出现冲激函数 $\delta(\omega)$ ，为使更多的函数存在变换，并简化某些变换形式或运算过程，引入一个衰减因子 $e^{- \sigma t}$ （ $\sigma$ 为任意实数）使它与f(t)相乘,于是 $e^{- \sigma t}f(t)$ 得以收敛，绝对可积条件就容易满足。按此原理，写出 $e^{- \sigma t}f(t)$ 的傅里叶变换

将式中 $(\sigma + j \omega)$ 用符号s代替，令 $s = \sigma + j \omega$ ，式（4-2）遂可写作

下面由傅里叶逆变换表示式求 $[f(t)e^{- \sigma t}]$ ，再寻找由F(s)求f(t)的一般表示式

等式两边各乘以 $e^{\sigma t}$ ，因为它不是 $\omega$ 的函数，可放到积分号内，于是得到

已知 $s = \sigma + j \omega$ ，所以 $ds = d \sigma +jd \omega$ ，若 $\sigma$ 为选定之常量，则 $ds = jd \omega$ ，以此代入式（4-5），并相应地改变积分上下限，得到

式（4-3）和式（4-6）就是一对拉普拉斯变换式(或称拉氏变换对)。两式中的f(t)称为“原函数”，F(s)称为“象函数”。已知f(t)求F(s)可由式（4-3）取得拉氏变换。反之，利用式（4 - 6）由F(s)求f(t)时称为逆拉氏变换(或拉氏逆变换)。常用记号表示取拉氏变换，以记号 表示取拉氏逆变换。于是，式（4 - 3）和式（4 - 6）可分别写作

拉氏正变换：

拉氏逆变换：

二、常用函数的拉普拉斯变换

序号	f(t) (t>0)	F(s)
1	冲激函数 $\delta (t)$	1
2	阶跃函数 $u(t)$	$\frac{1}{s}$
3	$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$
4	$t^{n}$ (n是正整数)	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
5	$sin(\omega t)$	$\frac{\omega}{s^{2}+\omega ^{2}}$
6	$cos(\omega t)$	$\frac{s}{s^{2}+\omega ^{2}}$
7	$e^{-at} sin(\omega t)$	$\frac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega ^{2}}$
8	$e^{-at} cos(\omega t)$	$\frac{s+a}{(s+a)^{2}+\omega ^{2}}$
9	$t e^{-at}$	$\frac{1}{(s+a)^{2}}$
10	$t^{n} e^{-at}$ (n是正整数)	$\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$
11	$t sin(\omega t)$	$\frac{2 \omega s}{(s^{2}+\omega ^{2})^{2}}$
12	$t cos(\omega t)$	$\frac{s^{2} - \omega ^{2}}{(s^{2}+\omega ^{2})^{2}}$
13	$sinh(at)$	$\frac{a}{s^{2}-a^{2}}$
14	$cosh(at)$	$\frac{s}{s^{2}-a^{2}}$

三、拉普拉斯变换的基本性质

序号	名称	结论
1	线性（叠加）	$K_1 f_1 (t) + K_2 f_2 (t) \rightarrow K_1 F_1 (s) + K_2 F_2 (s)$
2	对t微分	$\frac{df(t)}{dt} \rightarrow sF(s)-f(0)$ $\frac{d^n f(t)}{dt^n} \rightarrow s^n F(s) - \sum_{r=0}^{n-1} s^{n-r-1} f^{(r)}(0)$
3	对t积分	$\int_{-\infty }^{t } f(\tau )d \tau \rightarrow \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{(-1)}(0)}{s}$
4	延时（时域平移）	$f(t-t_0)u(t-t_0) \rightarrow e^{-st_0} F(s)$
5	s域平移	$f(t) e^{-at} \rightarrow F(s+a)$
6	尺度变换	$f(at) \rightarrow \frac{1}{a} F(\frac{s}{a})$
7	初值	$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$
8	终值	$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$
9	卷积	$\int_{0}^{t} f_1(\tau ) f_2(t-\tau )d \tau \rightarrow F_1(s) F_2(s)$
10	相乘	$f_1(t) f_2(t) \rightarrow \frac{1}{2 \pi j} \int_{\sigma -j \infty}^{\sigma +j \infty} F_1(p) F_2(s-p)dp$
11	对s微分	$-tf(t) \rightarrow \frac{dF(s)}{ds}$
12	对s积分	$\frac{f(t)}{t} \rightarrow \int_{s}^{\infty} F(s)ds$

四、使用Matlab计算拉氏正变换和逆变换

在Matlab中，我们可以使用laplace函数计算拉氏正变换，ilaplace函数计算拉氏逆变换

例1 求 $f(t)=e^{-t} sin(2t)$ 的拉氏变换

解析：这道题比较简单，直接套公式（ $e^{-at} sin(\omega t) \rightarrow \frac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega ^{2}}$ ）即可

代码如下：

syms t;%定义符号变量
f = exp(-t)*sin(2*t);%f(t)表达式
F = laplace(f)%求f的拉氏变换

运行结果：

例2 求 $f(t) = \int_{0}^{t} (2 \tau +1)u(\tau )d \tau$ 的单边拉氏变换

解析：由于 $(2 \tau +1)$ 乘以了一个 $u(\tau)$ ，已经是一个因果信号了，所以在求积分时不用再管 $u(\tau)$ 了，求出积分后，再代入公式（ $t^{n} \rightarrow \frac{n!}{s^{n+1}}$ ）

$\int_{0}^{t} (2 \tau +1)u(\tau )d \tau = \int_{0}^{t} (2 \tau +1)d \tau = t^2+t \rightarrow \frac{2}{s^3} + \frac{1}{s^2}$

代码如下：

syms t tau;%定义符号变量
f = int((2*tau+1)*heaviside(tau), tau, [0,t]);%int函数用于求积分
F = simplify(laplace(f))%simplify函数用于化简

运行结果：

例3 求 $F(s) = \frac{2s-2}{s^3+2s^2+4s+8}$ 的拉氏逆变换

解析：可以先将其因式分解，然后再部分分式展开，使用留数法计算待定系数后，再根据包含共轭复数极点的拉氏逆变换的公式：

即可求出最终结果

具体步骤如下：

代码如下：

syms s;%定义符号变量
F = (2*s-2)/(s^3+2*s^2+4*s+8);%F(s)表达式
f = ilaplace(F) %求F的拉氏逆变换
ezplot(f);%画出f(t)的图像

运行结果：

例4 求 $F(s) = \frac{2}{s^3 + 2s}$ 的拉氏逆变换

解析：只需将象函数部分分式分解，再代入公式（ $\frac{1}{s} \rightarrow u(t)$ ）（ $\frac{s}{s^{2}+\omega ^{2}} \rightarrow cos(\omega t)$ ）

$\frac{2}{s^3 + 2s} = \frac{2}{s(s^2+2)} = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+2} \rightarrow 1-cos(\sqrt{2}t)$

代码如下：

syms s;%定义符号变量s
F = 2/(s^3+2*s);
f = ilaplace(F)%计算F(s)的拉氏逆变换
ezplot(f);%画出f(t)的图像

运行结果：