使用Matlab计算傅里叶正变换和傅里叶逆变换_matlab 傅里叶逆变换-优快云博客

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一、傅里叶变换

傅里叶正变换：

傅里叶逆变换：

式中 $F(\omega)$ 是f(t)的频谱函数，它一般是复函数，可以写作 $F(\omega)=|F(\omega)|e^{j \varphi (\omega)}$

二、常用信号的傅里叶变换

信号名称	f(t)	$F(\omega)$
单边指数脉冲	$Ee^{-at}u(t) (a>0)$	$\frac{E}{a+j\omega}$
双边指数脉冲	$Ee^{-a\|t\|} (a>0)$	$\frac{2aE}{a^{2}+\omega^{2}}$
矩形脉冲	$E[u(t+\frac{\tau}{2}) - u(t-\frac{\tau}{2})]$	$E \tau Sa(\frac{\omega \tau}{2}) = \frac{2E}{\omega}sin(\frac{\omega \tau}{2})$
钟形脉冲	$Ee^{-(\frac{t}{\tau})^{2}}$	$\sqrt{\pi}E \tau e^{-(\frac{\omega \tau}{2})^{2}}$
符号函数	$Esgn(t)$	$\frac{2E}{j\omega}$
余弦脉冲	$Ecos(\frac{\pi t}{\tau})[u(t+\frac{\tau}{2}) - u(t-\frac{\tau}{2}) ]$	$\frac{2E \tau}{\pi} \frac{cos(\frac{\omega \tau}{2})}{[1-(\frac{\omega \tau}{\pi})^{2}]}$
冲激函数	$E\delta(t)$	$E$
冲激偶	$E\frac{d^{n}\delta(t)}{dt^{n}}$	$E(j\omega)^{n}$
阶跃函数	$Eu(t)$	$\frac{E}{j\omega} + \pi E \delta (\omega)$
正弦信号	$Esin(\omega_{0}t)$	$j\pi E[\delta(\omega+\omega_{0}) - \delta(\omega-\omega_{0})]$
余弦信号	$Ecos(\omega_{0}t)$	$E\pi [\delta(\omega+\omega_{0}) + \delta(\omega-\omega_{0})]$
抽样脉冲	$Sa(\omega_{c}t) = \frac{sin(\omega_{c}t)}{\omega_{c}t}$	$\frac{\pi}{\omega_{c}}[u(\omega + \omega_{c}) - u(\omega - \omega_{c})]$

三、傅里叶变换的性质

性质	时域f(t)	频域 $F(\omega)$	时域频域对应关系
1.线性	$\sum_{i=1}^{n} a_{i} f_{i} (t)$	$\sum_{i=1}^{n} a_{i} F_{i} (\omega)$	线性叠加
2.对称性	$F(t)$	$2\pi f(-\omega)$	对称
3.尺度变换	$f(at)$	$\frac{1}{\|a\|}F(\frac{\omega}{a})$	压缩与扩展
3.尺度变换	$f(-t)$	$F(-\omega)$	反褶
4.时移	$f(t-t_{0})$	$F(\omega)e^{-j\omega t_{0}}$	时移与相移
4.时移	$f(at-t_{0})$	$\frac{1}{\|a\|}F(\frac{\omega}{a}) e^{-j\frac{\omega t_{0}}{a}}$	时移与相移
5.频移	$f(t)e^{j \omega_{0}t}$	$F(\omega - \omega_{0})$	调制与频移
	$f(t)cos(\omega_{0}t)$	$\frac{1}{2}[F(\omega + \omega_{0}) + F(\omega - \omega_{0})]$
	$f(t)sin(\omega_{0}t)$	$\frac{j}{2}[F(\omega + \omega_{0}) - F(\omega - \omega_{0})]$
6.时域微分	$\frac{df(t)}{dt}$	$j \omega F(\omega)$
6.时域微分	$\frac{d^{n}f(t)}{dt^{n}}$	$(j\omega)^{n}F(\omega)$
7.频域微分	$-jtf(t)$	$\frac{dF(\omega)}{d\omega}$
7.频域微分	$(-jt)^{n}f(t)$	$\frac{d^{n}F(\omega)}{d\omega^{n}}$
8.时域积分	$\int_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$	$\frac{1}{j\omega}F(\omega) + \pi F(0)\delta (\omega)$
9.时域卷积	$f_{1}(t) \ast f_{2}(t)$	$F_{1}(\omega) F_{2}(\omega)$	乘积与卷积
10.频域卷积	$f_{1}(t)f_{2}(t)$	$\frac{1}{2\pi} F_{1}(\omega) \ast F_{2}(\omega)$	乘积与卷积
11.时域抽样	$\sum_{n = -\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - nT_{s})$	$\frac{1}{T_{s}} \sum_{n = -\infty}^{\infty}F(\omega - \frac{2\pi n}{T_{s}})$	抽样与重复
12.频域抽样	$\frac{1}{\omega_{s}} \sum_{n = -\infty}^{\infty}f(t - \frac{2\pi n}{\omega_{s}})$	$\sum_{n = -\infty}^{\infty}F(\omega)\delta(\omega - n\omega_{s})$	抽样与重复
13.相关	$R_{12}(\tau)$ $R_{21}(\tau)$	$F_{1}(\omega) F{_{2}}^{}(\omega)$ $F{_{1}}^{}(\omega) F_{2}(\omega)$
14.自相关	$R(\tau)$	$\| F(\omega) \|^{2}$

四、使用Matlab计算傅里叶变换

例1.已知信号求该信号的傅里叶变换

在使用Matlab之前，我们先手工计算一下

由于该信号只在-1到1处有值，所以乘以一个-1到1的矩形脉冲，然后再根据频移的性质即可得到最终结果

代码如下：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%傅里叶正变换%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%F = fourier(f);      f(x):函数f的自变量为x,其傅里叶变换后的函数F的自变量为w(\omega)
%F = fourier(f,v);    f(x),F(v):函数f的自变量为x,其傅里叶变换后的函数F的自变量为v
%F = fourier(f,u,v);  f(u),F(v):函数f的自变量为u,其傅里叶变换后的函数F的自变量为v

syms t w;%构造符号变量t，w(\omega)
f = cos(0.5*pi*t)*(heaviside(t+1)-heaviside(t-1));
F = fourier(f,t,w);%f(t),F(w)
disp(F);%显示傅里叶变换后的表达式

运行结果如下：

整理一下Matlab计算的结果，得： $\frac{cos\omega}{0.5\pi-\omega} + \frac{cos\omega}{0.5\pi+\omega}$ ，而我们手工计算的结果为 $Sa(\omega+0.5\pi) + Sa(\omega-0.5\pi)$

虽然这两个结果看起来不太一样，但是实际上是一样的

由抽样函数的定义可知：

$Sa(\omega+0.5\pi) + Sa(\omega-0.5\pi) = \frac{sin(\omega+0.5\pi)}{\omega+0.5\pi} + \frac{sin(\omega-0.5\pi)}{\omega-0.5\pi}$

再根据诱导公式，可得：

$\frac{sin(\omega+0.5\pi)}{\omega+0.5\pi} + \frac{sin(\omega-0.5\pi)}{\omega-0.5\pi} = \frac{cos\omega}{\omega+0.5\pi}-\frac{cos\omega}{\omega-0.5\pi}$

$\frac{cos\omega}{\omega+0.5\pi}-\frac{cos\omega}{\omega-0.5\pi} = \frac{cos\omega}{0.5\pi+\omega}+\frac{cos\omega}{0.5\pi-\omega}$

所以计算结果没有问题

例2.已知信号f(t)的傅里叶变换为 $F(\omega) = \frac{sin(3\omega+6)}{\omega+2}$ ，求f(t)

我们可以先把 $F(\omega)$ 化为抽样函数的形式，然后根据抽样函数的傅里叶逆变换公式和频移性质得出最终结果

代码如下：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%傅里叶逆变换%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%f = ifourier(F);       F(w),f(x):函数F的自变量为w(\omega),函数f的自变量为x
%f = ifourier(F,u);     F(w),f(u):函数F的自变量为w(\omega),其傅里叶逆变换后的函数f的自变量为u
%f = ifourier(F,v,u) ;  F(v),f(u):函数F的自变量为v,其傅里叶逆变换后的函数f的自变量为u
syms F w t;%构造符号变量F,t,w(\omega)
F = sin(3*w+6)/(w+2);
f = ifourier(F,w,t);%F(w),f(t)
disp(f);%显示傅里叶逆变换后的表达式

运行结果如下：

整理一下Matlab计算结果，得： $\frac{1}{2} [u(t+3)-u(t-3)]e^{-2jt}$ ，与我们手工计算的结果一致

五、使用Matlab画出波形图和频谱图（幅度谱）

使用ezplot函数画出例1的波形图和频谱图

syms t w;%构造符号变量t，w(\omega)
f = cos(0.5*pi*t)*(heaviside(t+1)-heaviside(t-1));
F = fourier(f,t,w);%f(t),F(w)
disp(F);%显示傅里叶变换后的表达式
ezplot(f,[-2,2]);%-2<t<2
figure;
ezplot(F,[-10,10]);%-10<w<10

使用ezplot函数画出例2的波形图和频谱图

syms F w t;%构造符号变量F,t,w(\omega)
F = sin(3*w+6)/(w+2);
f = ifourier(F,w,t);%F(w),f(t)
disp(f);%显示傅里叶逆变换后的表达式

ezplot(abs(f),[-4,4]);%由于f(t)含有虚数单位j，要对f(t)取模
figure;
ezplot(F);
axis([-6 6,-3 3]);