3.2.7输油管道问题（递归与分治）

目录

1.问题描述

输入

输出

输入样例

输出样例

2.算法分析

1.对数组a排序（一般是升序），取中间的元素

2.采用分治策略求中位数 

3.参考书籍

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1.问题描述

  某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路径（或南或北）与主管道相连。如果给定n口油井的位置，即它们的x坐标（东西向）和y坐标（南北向），应如何确定主管道的最优位置，即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置？
    给定n口油井的位置，编程计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。

输入

  第一行是一个整数n，表示油井的数量（1<=n<=1000）。接下来n行是油井的位置，每行两个整数x和y（10000<=x，y<10000）。本题只有 一组测试数据。
  

输出

各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。

输入样例

5
1 2
2 2
1 3
3 -2
3 3

样例数据示意图

输出样例

6

2.算法分析

 设n口油井的位置分别为，i=1~n.由于主输油管道是东西向的，因此可用其主轴线的y坐标唯一确定其位置。主管道的最优位置y应该满足：

由中位数定理可知,y是中位数。求中位数的算法有很多。

1.对数组a排序（一般是升序），取中间的元素

采用sort（）排序，如算法1所示

算法1

#include "iostream"
#include"algorithm"
#include "math.h"
using namespace std;
int main(){
    int n;   //油井的数量
    int x;   //x坐标，读取后丢弃
    int a[1000];  //y坐标
    cin>>n;
    for (int k = 0; k < n; k++)
        cin>>x>>a[k];
    sort(a,a+n);  //按升序排序
    //计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和
    int  min=0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        min+=(int)fabs(a[i]-a[n/2]);
    cout<<min<<endl;
}

算法时间复杂度为O(nlogn)，主要是排序所花费的时间。

2.采用分治策略求中位数 

利用算法3.2.6，取k=n/2，如算法2所示。

select()算法见 -----  3.2.6选择问题（递归与分治）

算法2

#include "iostream"
#include "math.h"
using namespace std;
int main(){
    int n;            //油井的数量
    int x;            //x坐标，读取后丢弃
    int a[1000];      //y坐标
    cin>>n;
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        cin>>x>>a[i];
    //调用算法3.2.6 采用分治算法计算中位数
    int y = select(0,n-1,n/2);
    //计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度和
    int min=0;
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        min+=(int)fabs(a[i]-y);
        cout<<min<<endl;
}

算法select()采用的是快速排序的思想，所以算法时间复杂度为O(nlogn)。

网上还有很多线性时间O(N)计算中位数的算法，因代码较长，请读者自己查阅

3.参考书籍

算法设计与分析  ---以ACM大学生程序设计竞赛在线题库为例      ---清华大学出版社