单纯形法（Simplex Method）

单纯形法（Simplex Method）是线性规划（Linear Programming）​中最经典、应用最广泛的求解算法，由 George Dantzig 在1947年提出。它通过迭代方式在可行域的顶点（极值点）之间移动，逐步逼近最优解。

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目录

1. 算法背景与核心思想
2. 线性规划标准型与基本概念
3. 单纯形法的数学推导
4. 单纯形表与算法步骤
5. 手工计算实例（生产计划优化）
6. 退化问题与应对策略
7. Python代码实现
8. 算法总结与局限性

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一、算法背景与核心思想

1. 历史背景

• 提出者：George Dantzig（1947年）
• 应用领域：资源分配、生产计划、物流调度等线性规划问题。
• 核心目标：在满足线性约束条件下，找到使目标函数最大化的解。

2. 几何与代数视角

• 几何解释：可行域是一个凸多面体，最优解必出现在顶点（极值点）上。
• 代数操作：通过**基变量（Basic Variables）**的转换，在顶点之间移动，逐步逼近最优解。

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二、线性规划标准型与基本概念

1. 标准型要求

$$\begin{array}{rl}\text{最大化}& {\mathbf{c}}^T\mathbf{x}\\ \text{约束条件}& A\mathbf{x}=\mathbf{b}\\ & \mathbf{x}\ge 0\end{array}$$

• 目标函数需为最大化，变量非负。
• 所有约束为等式（通过添加松弛变量或剩余变量实现）。

2. 关键概念

术语	定义
基变量	约束矩阵 ( A ) 中线性无关列对应的变量（数量等于约束方程个数）
非基变量	不在基中的变量（值为0）
可行基解	满足所有约束的基解
检验数（σ）	目标函数对非基变量的灵敏度（判断是否达到最优）

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三、单纯形法的数学推导

1. 基变换与目标函数

• 设基变量为 ${\mathbf{x}}_B$，非基变量为 ${\mathbf{x}}_N$，约束方程可写为：
  $${\mathbf{x}}_B=B^{-1}\mathbf{b}-B^{-1}N{\mathbf{x}}_N$$
• 目标函数转换为：
  $$z={\mathbf{c}}_B^T{B}^{-1}\mathbf{b}+\left({\mathbf{c}}_N^T-{\mathbf{c}}_B^T{B}^{-1}N\right){\mathbf{x}}_N$$
• 检验数：${\sigma }_j=c_j-{\mathbf{c}}_B^T{B}^{-1}{A}_j$，当所有 ${\sigma }_j\le 0$ 时达到最优。

2. 入基与出基规则

• 入基变量：选择 ${\sigma }_j>0$ 中最大的非基变量 $x_j$（最速上升）。
• 出基变量：通过最小比值测试 ${\theta }_i=b_i/A_{ij}$ 确定。

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四、单纯形表与算法步骤

1. 单纯形表结构

基变量	$x_1$	$x_2$	…	$s_1$	$s_2$	右端项
$s_1$	2	1	…	1	0	8
$s_2$	1	3	…	0	1	9
$z$	-3	-4	…	0	0	0

2. 算法步骤

1. 初始化：
   • 将问题转化为标准型，确定初始基变量和非基变量。
   • 构建初始单纯形表（包含目标函数和约束条件）。
2. 最优性检验：
   • 计算检验数（Reduced Costs）${\sigma }_j=c_j-{\mathbf{c}}_B^T{B}^{-1}{A}_j$。
   • 若所有 ${\sigma }_j\le 0$，当前解为最优解，算法终止。
3. 选择入基变量：
   • 选取检验数 ${\sigma }_j>0$ 中最大的变量 $x_j$ 入基（最速上升规则）。
4. 选择出基变量：
   • 计算右端项 $\mathbf{b}$ 与入基变量列的正向比值 ${\theta }_i=b_i/A_{ij}$（仅限 $A_{ij}>0$）。
   • 选择最小 ${\theta }_i$ 对应的基变量 $x_i$ 出基（保证可行性）。
5. 更新基变量与单纯形表：
   • 通过高斯消元（枢轴运算）更新基矩阵和目标函数。
   • 重复步骤2-5直至满足最优性条件。

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五、手工计算实例（生产计划优化）

1. 问题描述

• 最大化利润：$z=3x_1+4x_2$
• 约束条件：
  $$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2\le 8\\ x_1+3x_2\le 9\\ x_1,x_2\ge 0\end{array}$$

2. 标准化与初始表

添加松弛变量 $s_1,s_2$，得到：
$$\begin{array}{rl}2x_1+x_2+s_1& =8\\ x_1+3x_2+s_2& =9\\ z-3x_1-4x_2& =0\end{array}$$
初始单纯形表：

基变量	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	右端项
$s_1$	2	1	1	0	8
$s_2$	1	3	0	1	9
$z$	-3	-4	0	0	0

3. 第一次迭代

• 入基变量：$x_2$（检验数-4绝对值最大，但需注意符号，此处应为正值）
• 出基变量：计算 ${\theta }_1=8/1=8$，${\theta }_2=9/3=3$，选 $s_2$ 出基。
• 枢轴运算：以 $x_2$ 列和 $s_2$ 行的3为主元，更新表格：

更新后表格：

基变量	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	右端项
$s_1$	5/3	0	1	-1/3	5
$x_2$	1/3	1	0	1/3	3
$z$	-1/3	0	0	4/3	12

4. 第二次迭代

• 入基变量：$x_1$（检验数-1/3对应实际为正值）
• 出基变量：计算 ${\theta }_1=5/(5/3)=3$，选 $s_1$ 出基。
• 枢轴运算：以 $x_1$ 列和 $s_1$ 行的5/3为主元，更新表格：

最终表格：

基变量	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	右端项
$x_1$	1	0	3/5	-1/5	3
$x_2$	0	1	-1/5	2/5	2
$z$	0	0	1/5	11/5	13

最优解：$x_1=3,x_2=2$，最大利润 $z=3\times 3+4\times 2=17$。

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六、退化与应对策略

1. 退化现象

• 基变量取值为0时，迭代后目标函数值不改变。
• 后果：可能进入循环，无法收敛。

2. 解决方案

• Bland规则：优先选择下标最小的变量入基和出基。
• 扰动法：对右端项 $\mathbf{b}$ 施加微小随机扰动。

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七、Python代码实现

使用 scipy.optimize.linprog 求解上述生产计划问题：

from scipy.optimize import linprog

# 目标函数系数（linprog默认最小化，需取负）
c = [-3, -4]

# 不等式约束矩阵
A = [[2, 1], [1, 3]]
b = [8, 9]

# 变量非负约束
x_bounds = (0, None)

# 求解
result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[x_bounds, x_bounds], method='highs')

print("最优解：x1 =", round(result.x[0], 2), "x2 =", round(result.x[1], 2))
print("最大利润：", -round(result.fun, 2))

输出：

最优解：x1 = 3.0 x2 = 2.0
最大利润：17.0

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八、算法总结与局限性

优势

• 理论成熟，实际应用广泛。
• 对中小规模问题效率极高。
• 支持灵敏度分析（如影子价格、松弛变量分析）。

局限性

• 最坏情况下时间复杂度为指数级（如 Klee-Minty 问题）。
• 无法直接处理整数约束（需结合分支定界法）。
• 对大规模稀疏问题效率低于内点法。