检验数（Reduced Cost）

在单纯形法中，检验数（有时也叫做“机会成本”或“检验系数”，在英文中通常称为 Reduced Cost）是用来判断 非基变量 是否有可能让目标函数得到进一步改善（也就是判断是否值得“进基”）的一个指标。它在单纯形表中一般对应于“目标函数行”（又称“第 0 行”）里非基变量所在列的系数。

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1. 检验数的定义

以最大化问题为例，单纯形表第 0 行（或目标行）里某个非基变量 $x_j$ 的系数，记为 ${\bar{c}}_j$，就是这个变量的检验数。它反映了如果将该变量从 0 稍微增大，对目标函数的影响趋势：

• 若 ${\bar{c}}_j>0$（在最大化问题中），表示引入（增大）该变量能提高目标值，故可能“进基”。
• 若 ${\bar{c}}_j\le 0$，表示引入该变量不会提高目标值（甚至会让目标变差），故不值得让它进基。

对于最小化问题，判断标准相反：若检验数（${\bar{c}}_j$) < 0，就能让目标函数继续下降，值得进基。

简而言之：

• 最大化问题：检验数 > 0 的非基变量可以带来改进。
• 最小化问题：检验数 < 0 的非基变量可以带来改进。

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2. 检验数在单纯形法迭代中的作用

1. 决定进基的非基变量
   在每一次迭代中，单纯形法会查看所有非基变量的检验数：

   • 若在最大化问题里存在 ${\bar{c}}_j>0$ 的非基变量，则表示还能改进目标函数；通常选其中最“有利”的一个进入基。
   • 若所有非基变量的检验数都 $\le 0$，则说明无法继续改进，当前解即为最优解。

2. 配合出基变量选择
   进基变量确定后，需要根据最小比率检验（ratio test）来选出一个基变量“出基”，从而保证新的基可行解仍然满足所有约束。

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3. 检验数的几何含义

几何上，单纯形法是在多面体顶点之间移动：

• 检验数可以理解为：如果我们从当前顶点向着某个非基变量的方向移动，对目标函数的变化率是正（最大化）还是负。
• 当检验数显示继续“前进”能提升（或降低）目标函数时，就意味着多面体在这个方向上还有更优的顶点可达。

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4. 检验数的计算

在单纯形法中，检验数（Reduced Cost）本质上是用来衡量“将某个非基变量从 0 调整为正值”对目标函数的边际影响。它既可以通过单纯形表中的“目标行”系数直接读取，也可以用向量-矩阵的形式进行计算。下面分别从这两种视角来说明其计算原理。

1. 在单纯形表（Simplex Tableau）中的计算

在构造单纯形表时，我们会把问题写成如下形式（以最大化问题为例）：

1. 初始形式
   $$\begin{array}{rl}\text{Maximize}& z=\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_j\\ \text{subject to}& \{\begin{array}{l}Ax=b,\\ x\ge 0,\end{array}\end{array}$$
   并在表格最底行（或顶部行）记录目标函数行。

2. 引入基与非基

   • 选定一组基变量 $x_B$$(m$ 个），非基变量 $x_N$（$n-m$ 个）。
   • 在单纯形表中，基变量所在列常被“单位列”化，而非基变量的列则随迭代而更新。

3. 检验数在目标行

   • 在“目标行”中，每个非基变量 $x_j$ 对应一列，其在目标行的系数就是该变量的检验数 ${\bar{c}}_j$。
   • 通过单纯形表的高斯消去或透过上一轮迭代的更新，就可以读出 ${\bar{c}}_j$ 的数值。

在最大化问题里，如果有某个非基变量 $x_j$ 的检验数 ${\bar{c}}_j>0$，意味着把 $x_j$从 0 增大可以提高目标函数；相反，若 ${\bar{c}}_j\le 0$，就表示它对目标函数无进一步改进或会使目标下降。

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2. 从线性代数（向量-矩阵）角度的公式

假设线性规划的标准形式为：
$$\begin{array}{rl}\text{Maximize}& z=c^{T}x\\ \text{subject to}& Ax=b,\\ & x\ge 0,\end{array}$$
其中：

• $A$ 为 $m\times n$矩阵，
• $c$ 为 $n$-维目标系数向量，
• $x$ 为 $n$-维决策变量向量，
• $b$ 为 $m$-维常数向量。

令 $B$ 表示基变量对应的列所组成的可逆矩阵（大小为 $m\times m$），$N$ 表示非基变量对应的列（大小为 $m\times (n-m$)）。相应地，将目标系数向量 $c$ 拆分成 $c_B$（基变量的目标系数）和 $c_N$（非基变量的目标系数）。

• 基变量的值：
  $$x_B=B^{-1}b$$
• 检验数（Reduced Cost） 对应于某个非基变量 $x_j$ 的计算公式：
  $${\bar{c}}_j=c_j-c_B^T{B}^{-1}{A}_j$$
  其中：
  • $c_j$ 是非基变量 $x_j$ 在目标函数中的系数，
  • $c_B$ 是基变量的目标系数向量，
  • $B^{-1}$ 是基矩阵的逆，
  • $A_j$ 是矩阵 $A$ 中对应非基变量 $x_j$ 的那一列。

含义

• ${\lambda }^T=c_B^T{B}^{-1}$ 可以视为对偶变量（或对偶价格）。
• ${\bar{c}}_j=c_j-{\lambda }^T{A}_j$ 则表示：将变量 $x_j$ 从 0 增加一点点，对目标的净影响是多少。
• 在最大化问题中，如果${\bar{c}}_j>0$，就能提高目标；若 ${\bar{c}}_j=0$，表示目标对它不敏感；若${\bar{c}}_j<0$，增大该变量会让目标变差。

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5. 总结

• 检验数（Reduced Cost）：在单纯形表的目标函数行中，用于评估“将某个非基变量由 0 调整为正值”对目标函数的影响。
• 用途：
  1. 判断是否能继续改进目标函数；
  2. 决定哪一个非基变量进基。
• 判定标准：
  • 判断是否还有改进空间：
  • 最大化问题：若存在 ${\bar{c}}_j>0$ 的非基变量，表示可进基。
  • 最小化问题：若存在 ${\bar{c}}_j<0$ 的非基变量，表示可进基。
• 计算

  • 检验数在单纯形表中的体现：

    • 直接体现在“目标函数行”对应非基变量列的系数上。
    • 通过单纯形法的表格运算更新得到。

  • 向量-矩阵公式：
    $${\bar{c}}_j=c_j-c_B^T{B}^{-1}{A}_j$$
    它反映了 目标系数 与 对偶价格$(c_B^T{B}^{-1}$）的差值。

因此，检验数或Reduced Cost在单纯形法中扮演了“方向判别器”的角色，告诉我们是否还能通过让某个非基变量进入基来继续改进目标函数。