自然推理系统证明:(∀x)P(x)→C⊢(∃x)(P(x)→C)

最新推荐文章于 2025-07-13 11:55:45 发布

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#抽象代数

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博主分享了一次使用自然推理系统证明逻辑命题的经历，详细讲述了从尝试右∃策略到改用右¬策略的过程，通过引入导出规则简化证明，并最终成功推导出目标结论。文章强调了在面对多种证明策略时，应灵活选择并注意变量约束。

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第一次写博客，先复盘一道简单的证明题练练手

用自然推理系统证明： $(∀x)P(x)→C⊢(∃x)(P(x)→C)(\forall x)P(x)\rightarrow C \vdash (\exists x)(P(x)\rightarrow C)$

思考过程

$看到题目想到两种策略：右∃和右¬，感觉右∃更加自然，故首先尝试右∃:看到题目想到两种策略：右\exists和右\lnot，感觉右\exists更加自然，故首先尝试右\exists:$

$右边的∃可以无条件加上，故只需证(∀x)P(x)→C⊢P(x)→C右边的\exists可以无条件加上，故只需证(\forall x)P(x)\rightarrow C \vdash P(x)\rightarrow C$

$此时用右→策略（右¬我没试），即证(∀x)P(x)→C,P(x)⊢C此时用右\rightarrow策略（右\lnot我没试），即证(\forall x)P(x)\rightarrow C,P(x) \vdash C$

$发现左边有x的自由变元，无法推出(∀x)P(x),故无法使用→消去规则推出C，此外，右C规则应该也用不了发现左边有x的自由变元，无法推出(\forall x)P(x),故无法使用\rightarrow消去规则推出C，此外，右C规则应该也用不了$

$因此放弃看上去更自然的右∃策略，采用更简单粗暴的右¬：因此放弃看上去更自然的右\exists策略，采用更简单粗暴的右\lnot：$

$首先引入两个导出规则来简化证明过程（虽然还是很麻烦：$

$1.¬(A→B)⊢A∧¬B1.\lnot(A→B)⊢A∧¬B$
$2 . \neg (\exists x) P (x) ⊢ (\forall x) (\neg P (x))$

$倒着推，首先要证(∀x)P(x)→C,¬(∃x)(P(x)→C)⊢⊥倒着推，首先要证(\forall x)P(x)\rightarrow C , \lnot(\exists x)(P(x)\rightarrow C)\vdash \bot$

$由于左边有点复杂，暂时没有看出来矛盾应该选什么，就先用导出规则 2 ， 1 进行化简：$

$得到(∀x)P(x)→C,¬(∃x)(P(x)→C)⊢(∀x)(P(x)∧¬C)得到(\forall x)P(x)\rightarrow C,\lnot(\exists x)(P(x)\rightarrow C)\vdash (\forall x)(P(x)\land \lnot C)$

$可以轻松推出¬C，观察左右两边尝试推出C，关键需要推出(∀x)P(x)可以轻松推出\lnot C，观察左右两边尝试推出C，关键需要推出(\forall x)P(x)$

$可以轻松推出P(x),发现左边没有x的自由变元，所以用∀引入规则推出(∀x)P(x)可以轻松推出P(x),发现左边没有x的自由变元，所以用\forall 引入规则推出(\forall x)P(x)$

$然后反过来写过程就 O K 了$

策略总结

有时候一道题开始有多种策略可以选，当右边比较复杂时，右 $A/¬A/\lnot$ 策略可能过于简单粗暴，不是很自然，确实应该先尝试其他策略。但即便如此，该策略很多时候也是有效的
往右边添加 $∀\forall$ 和往左边添加 $∃\exists$ 都需要检查自由变元，一旦发现没有自由变元，积极寻求添加这两种量词

证明过程

1.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	¬(∃ x)(P(x)->C)							∈
2.	¬(∃ x)(P(x)->C)					|-	(∀ x)(¬(P(x)->C))						导出规则
3.									|-	(¬(∃ x)(P(x)->C))->(∀ x)(¬(P(x)->C))	→+ 2
4.	(∀ x)P(x)->C					|-	(¬(∃ x)(P(x)->C))->(∀ x)(¬(P(x)->C))	∈+ 3
5.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	(¬(∃ x)(P(x)->C))->(∀ x)(¬(P(x)->C))	∈+ 4
6.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	(∀ x)(¬(P(x)->C))						→- 1,5
7.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	¬(P(x)->C)								∀- 6 (x/x)
8.	¬(P(x)->C)						|-	P(x)/\¬C								导出规则
9.									|-	¬(P(x)->C)->P(x)/\¬C					→+ 8
10.	(∀ x)P(x)->C					|-	¬(P(x)->C)->P(x)/\¬C					∈+ 9
11.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	¬(P(x)->C)->P(x)/\¬C					∈+ 10
12.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	P(x)/\¬C								→- 7,11
13.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	P(x)									∧- 12
14.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	(∀ x)P(x)								∀+ 13
15.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	(∀ x)P(x)->C							∈
16.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	C										→- 14,15
17.	(∀ x)P(x)->C,¬(∃ x)(P(x)->C)	|-	¬C										∧- 12
18.	(∀ x)P(x)->C					|-	¬(¬(∃ x)(P(x)->C))						¬+ 16,17
19.	(∀ x)P(x)->C					|-	(∃ x)(P(x)->C)							¬¬- 18