自然推理系统证明：¬(∀x)P(x)⊢(∃x)¬P(x)

最新推荐文章于 2025-07-13 11:55:45 发布

忘情者

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分类专栏：离散数学文章标签：抽象代数

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本文详细记述了如何使用自然推理系统证明蕴含关系 (¬x)P(x) 导致存在某个 x 的 ¬P(x)，通过一步步的策略应用，包括右¬策略和右A策略，最终揭示证明过程和关键步骤。

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自然推理系统证明： $(¬x)P(x)⊢(∃x)¬P(x)(\lnot x)P(x)\vdash (\exists x)\lnot P(x)$

题目很简短，但还是花了一些时间。

思考过程

先采用右 $∃\exists$ 策略，即证 $¬(∀x)P(x)⊢¬P(x)\lnot(\forall x)P(x)\vdash \lnot P(x)$ ,差点以为可以用 $∀−\forall-$ 规则直接证出，但是前面有个 $¬\lnot$

在此基础上用右 $¬\lnot$ 策略， $¬(∀x)P(x),P(x)⊢⊥\lnot(\forall x)P(x),P(x)\vdash \bot$ 好像也不行

于是又双被迫直接用右A策略:

$¬(∀x)P(x),¬(∃x)¬P(x)⊢⊥\lnot(\forall x)P(x),\lnot(\exists x)\lnot P(x)\vdash \bot$

尝试推出 $(∀x)P(x)(\forall x)P(x)$ （这道题没让用导出规则，否则是显然的）

注意到左边都是约束变元，只需推出 $P (x)$

但是到这卡住了，看不出来

过了一会才想起来再用一次右A策略: $¬(∀x)P(x),¬(∃x)¬P(x),¬P(x)⊢⊥\lnot(\forall x)P(x),\lnot(\exists x)\lnot P(x),\lnot P(x)\vdash \bot$

这次就显然了，矛盾选 $(∃x)¬P(x)(\exists x)\lnot P(x)$ ，再一路倒推回去就行

策略总结

右 $¬\lnot$ 策略yyds，一次不行就两次

具体过程

1.	¬(∀ x)P(x),¬(∃ x)(¬P(x))			|-	¬(∀ x)P(x)			∈
2.	¬(∀ x)P(x),¬(∃ x)(¬P(x)),¬P(x)		|-	¬P(x)				∈
3.	¬(∀ x)P(x),¬(∃ x)(¬P(x)),¬P(x)		|-	(∃ x)(¬P(x))		∃+ 2 (x/x)
4.	¬(∀ x)P(x),¬(∃ x)(¬P(x)),¬P(x)		|-	¬(∃ x)(¬P(x))		∈
5.	¬(∀ x)P(x),¬(∃ x)(¬P(x))			|-	¬(¬P(x))			¬+ 3,4
6.	¬(∀ x)P(x),¬(∃ x)(¬P(x))			|-	P(x)				¬¬- 5
7.	¬(∀ x)P(x),¬(∃ x)(¬P(x))			|-	(∀ x)P(x)			∀+ 6
8.	¬(∀ x)P(x),¬(∃ x)(¬P(x))			|-	¬(∀ x)P(x)			∈
9.	¬(∀ x)P(x)							|-	¬(¬(∃ x)(¬P(x)))	¬+ 7,8
10.	¬(∀ x)P(x)							|-	(∃ x)(¬P(x))		¬¬- 9