数学知识——求组合数

就是求$C_a^b$

• 1、预处理所有C[a][b],用公式$C_a^b=C_{a-1}^b+C_{a-1}^{b-1}$
  当a，b数据范围较小时适用。

long long C[N][N];
int mod = 1e9+7;
void zuhe(int n){
	for(int i=0;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=i;j++){
			if(!j) C[i][j] = 1;
			else C[i][j] = C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
		}
	}
}

• 2、预处理a和b的阶乘

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5+10,mod = 1e9+7;
LL fact[N],infact[N];
int n;

LL qmi(int a,int b,int p){
    LL res = 1;
    while(b){
        if(b&1)res = (LL)(res*a)%p;
        b = b>>1;
        a = (LL)a*a%p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    fact[0] = infact[0] = 1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        if(i==1)fact[i] = infact[i] = 1;
        else{
            fact[i] = (fact[i-1]*i)%mod;
            infact[i] = (infact[i-1]*qmi(i,mod-2,mod))%mod;
        }
    }
    scanf("%d",&n);
    int a,b;
    while(n--){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%lld\n",((fact[a]*infact[b])%mod*infact[a-b])%mod);//每乘一次取一次模，防止溢出。
    }
    return 0;
}

• 3、当a和b巨大时，要用卢卡斯定理
  卢卡斯定理：$C_a^b=C_{a\%p}^{b\%p}\ast C_{a/p}^{b/p}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a,b,p;

LL qmi(LL a,LL b,LL p){
    LL res = 1;
    while(b){
        if(b&1)res = res*a%p;
        a = a*a%p;
        b= b>>1;
    }
    return res;
}

LL C(LL a,LL b){//边循环边求C
    LL res = 1;
    for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--){
        res = res*j%p;
        res = res*qmi(i,p-2,p)%p;
    }
    return res;
}

LL lucas(LL a,LL b){
    if(a<p&&b<p) return C(a,b)%p;
    else return ((C(a%p,b%p)%p)*(lucas(a/p,b/p))%p)%p;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
        LL res = lucas(a,b);
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}