【算法】欧几里德算法——求两个整数的最大公约数

目录

1. 算法简介

2. 算法实现

2.1 暴力穷举法

2.2 欧几里德算法

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1. 算法简介

欧几里德（Euclidean）算法，又被称辗转相除法，是求最大公约数的算法。

两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。欧几里德算法的基本原理是：两个数的最大公约数等于它们中较小的数和两数之差的最大公约数。例如：

252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；

252 − 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21；

147 − 105 = 63，所以105和63的最大公约数也是21；

105 − 63 = 42，所以63和42的最大公约数也是21；

105 − 63 = 42，所以63和42的最大公约数也是21；

63 − 42 = 21，所以42和21的最大公约数也是21；

42 − 21 = 21，所以21和21的最大公约数也是21；

21 − 21 =0，最后剩下21和0，所以252和105的最大公约数是21。

在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 × 105 + (−2) × 252。这个重要的等式叫做贝祖等式（