四元数 欧拉角 旋转矩阵

1. 概念

四元数、欧拉角和旋转矩阵都是数学工具，用于描述和处理三维空间中的旋转。它们在计算机图形学、航空航天、机器人学等领域中非常重要。

1.1 欧拉角 (Euler Angles)

定义：
欧拉角是用三个角度来描述物体在三维空间中的旋转。通常这三个角度分别是 俯仰角（Pitch）、偏航角（Yaw） 和 滚转角（Roll）。它们代表绕三个不同轴的旋转。

俯仰角（Pitch）：绕水平轴旋转（例如，飞机的机头上升或下降）。
偏航角（Yaw）：绕垂直轴旋转（例如，飞机的机头左右转动）。
滚转角（Roll）：绕纵轴旋转（例如，飞机的翅膀向上或向下倾斜）。

特点：
直观：欧拉角非常直观，易于理解。比如，坐标系中的物体旋转时，可以直观地通过俯仰、偏航、滚转来描述。
旋转顺序依赖性：不同的旋转顺序会导致不同的结果，旋转顺序（比如先俯仰再偏航）对于结果非常重要。
万向节锁问题：如前面提到的，当物体的某两个旋转轴对齐时，欧拉角可能会出现“万向节锁”问题，即失去自由度，导致无法进行某些旋转。

应用：
直观的场景中常用，尤其是在一些航天、飞行器姿态控制中，欧拉角作为控制和表示姿态的方式非常常见。

1.2 旋转矩阵 (Rotation Matrix)

定义：
旋转矩阵是一种数学工具，用于描述三维空间中的旋转。它是一个 3x3 的矩阵，通过矩阵乘法实现旋转操作。旋转矩阵将一个向量（如物体的坐标）旋转到另一个位置。

如果给定一个旋转矩阵 R 和一个向量 v，旋转后的向量 v’ 可以通过 v’ = R * v 来计算。

特点：
不依赖顺序：旋转矩阵可以通过矩阵乘法组合多个旋转，而且它本身不易出现欧拉角中的“万向节锁”问题。
计算复杂度高：旋转矩阵是 3x3 的矩阵，涉及较多的计算，特别是组合多个旋转时。
易于复合旋转：多个旋转可以通过矩阵乘法进行组合，保持较高的精度。

应用：
在一些需要进行多个旋转合成或需要高精度计算的场景中，旋转矩阵被广泛应用。
例如，在计算机图形学和机器人学中，旋转矩阵经常用于物体的姿态变化。

常见三角函数值

旋转矩阵 绕 x y z 轴 旋转的公式
绕 x-轴旋转，角度为 θ的旋转矩阵是：

绕 y-轴旋转，角度为 θ的旋转矩阵是：

绕 z-轴旋转，角度为 θ的旋转矩阵是：

1.3 四元数 (Quaternions)

定义：
四元数是一种扩展了复数的数学结构，通常用来描述三维空间中的旋转。一个四元数由四个部分组成：一个标量部分和三个虚数部分。它可以表示旋转的轴和角度。

四元数的标准形式是：q=w+xi+yj+zk

其中，w 是标量部分，x、y、z 是虚数部分。四元数不仅能表示旋转，还具有乘法、逆运算等性质，使得旋转的组合更加高效。

四元数与旋转之间的关系是：给定一个单位四元数，它可以用来将一个向量旋转指定的角度。

特点：
避免万向节锁：与欧拉角不同，四元数不会出现万向节锁问题。
计算效率高：四元数的组合非常高效，可以通过四元数的乘法来合成多个旋转。
表示精确：四元数能非常精确地表示旋转，且数值稳定性较好。
表示简洁：四元数只需要四个参数，比旋转矩阵（9个元素）更加节省空间。

应用：
在现代计算机图形学、动画、机器人学、航天等领域，四元数被广泛使用。例如，在3D图形渲染中，四元数用于表示物体的旋转，避免了欧拉角和旋转矩阵的计算复杂度。
四元数还广泛应用于飞行器、航天器的姿态控制系统中，用于实现高效且精确的旋转计算。

1.4 总结

2. 优缺点

2.1 欧拉角

欧拉角通过绕三个坐标轴的旋转（通常是滚转、俯仰、偏航）来描述三维旋转。常见的旋转顺序有：XYZ、ZYX等。

优点：
直观性：欧拉角是人类最自然的旋转方式，很容易理解。比如，飞机的航向（偏航）、俯仰（上仰或下俯）和滚转（左右倾斜）就是典型的欧拉角应用。
易于操作：对角度的直观控制，适用于一些需要精确调整角度的应用。

缺点：
万向节锁（Gimbal Lock）：当两个旋转轴对齐时（例如俯仰角为 ±90° 时），会导致一个自由度丢失，使得旋转失去自由度，无法描述某些方向的旋转。
非唯一性：相同的旋转可以通过不同的欧拉角表示出来，可能导致理解上的混淆。
复杂的插值问题：当进行旋转插值（例如旋转动画）时，欧拉角的插值会出现不稳定或者跳跃的情况。

适用场景：
人类可操作的界面：例如飞行模拟器、动画控制等，用户可以通过设置俯仰、偏航、滚转角来调整物体姿态。
工程和机械学：在一些简单的机械控制中，欧拉角由于直观性而被广泛应用。

举个例子：
假设我们有一个飞机模型，它的姿态（也就是它在三维空间中的方向）可以通过 俯仰（pitch）、偏航（yaw） 和 滚转（roll） 来描述。这三个角度就是经典的欧拉角。

俯仰角为 90°（完全上仰）
现在，假设飞机的 俯仰角 达到了 90°，即飞机的机头已经完全朝上（垂直）。此时，飞机的滚转轴和偏航轴已经对齐——两者都指向水平面。在这种情况下：

如果你再试图进行 滚转（绕飞机自身的纵轴旋转），飞机就无法再做左右倾斜的动作，因为滚转轴已经没有了自由度。
如果你再试图进行 偏航（绕垂直轴旋转），也会遇到问题，因为偏航轴和滚转轴已经完全重合，无法再绕垂直轴进行旋转。
这就发生了万向节锁：两个旋转轴（滚转轴和偏航轴）重合，使得飞机的旋转自由度丧失了，不能再绕这两个方向旋转。

没有万向节锁时：飞机可以自由地绕三个独立的轴旋转（俯仰、偏航和滚转），每个角度都有独立的自由度。
发生万向节锁时：当俯仰角达到 90° 时，飞机的滚转轴和偏航轴重合。此时，你只能进行俯仰（上下运动）或绕某个方向的旋转（但不能同时做俯仰和滚转或偏航），导致失去一个自由度。

在三维空间中，假设我们用一个 万向节（gimbal）来描述旋转。万向节由三根轴组成，分别代表俯仰、偏航和滚转。
如果俯仰角为 90°，那么其中两根轴就会重合，导致万向节的两个轴失去独立性。这就造成了 旋转的自由度丧失，也就是我们说的 万向节锁。

2.2 旋转矩阵

旋转矩阵通过一个 3x3 的矩阵来表示三维空间中的旋转。矩阵乘法可以非常方便地实现多个旋转的组合。

优点：
计算简便：旋转矩阵之间的组合（乘法）和插值非常直观，适合矩阵运算的场景。
不受万向节锁影响：旋转矩阵可以描述任意的旋转，而不会受到欧拉角的万向节锁问题。
稳定性：旋转矩阵在数值计算中非常稳定，适合大规模的数值仿真。

缺点：
冗长和难以理解：相比欧拉角和四元数，旋转矩阵更加复杂，包含9个数值，可能不如其他方法直观。
存储空间：需要9个浮点数来表示一个旋转，相比四元数的4个数值占用更多空间。
计算量大：矩阵运算需要更高的计算量，尤其是在高频率旋转和实时系统中，可能会导致性能瓶颈。

适用场景：
计算机图形学：在图形渲染和变换中，旋转矩阵经常用于将顶点从一个坐标系变换到另一个坐标系。
机器人学：机器人运动学和路径规划中，旋转矩阵用于描述机器人末端执行器的姿态。
物理仿真：例如在刚体动力学中，旋转矩阵用于处理物体的旋转运动。

2.3 四元数

四元数是由一个标量（w）和三个向量部分（x, y, z）组成的四元数结构，可以有效表示三维旋转。四元数在计算旋转时避免了万向节锁问题，且计算更为高效。

优点：
避免万向节锁：四元数能稳定地表示任意三维旋转，避免了欧拉角的万向节锁问题。
高效的插值：四元数在进行旋转插值时（如球面线性插值 SLERP）非常稳定，常用于动画和模拟中的平滑旋转。
较少的计算开销：与旋转矩阵相比，四元数在旋转组合时通常更为高效，因为它只需要四个数值。
更少的存储需求：四元数只需要 4 个数值，比旋转矩阵（9 个数值）更节省内存。

缺点：
不直观：四元数的物理意义不像欧拉角那样直观。它不容易被人类直观理解，因此在调试和交互式控制中可能不如欧拉角友好。
需要额外的转换：在一些应用中（如与用户交互时），需要将四元数转换回欧拉角或旋转矩阵来解释或显示旋转。

适用场景：
计算机图形学：四元数在3D图形的动画和旋转中应用广泛，尤其是在需要平滑旋转插值的场景中（如虚拟现实、视频游戏中的角色动画）。
物理模拟：在物理仿真中，四元数用于稳定的旋转表示和高效计算。
航天航空：在航天器的姿态控制中，四元数被广泛使用，因为它们能够避免万向节锁并提供高效的旋转计算。

3. 相互转换

3.1 欧拉角到旋转矩阵

欧拉角是通过三个角度来描述旋转的方式，通常表示为绕三个坐标轴的旋转：俯仰角（pitch）、偏航角（yaw）和滚转角（roll）。不同的旋转顺序会得到不同的旋转矩阵。常见的旋转顺序有 ZYX 顺序（绕 Z 轴旋转，然后绕 Y 轴，最后绕 X 轴旋转）。

欧拉角到旋转矩阵（ZYX顺序）
给定绕 Z 轴、Y 轴和 X 轴的旋转角度，旋转矩阵为：

绕 Z 轴的旋转矩阵：

绕 Y 轴的旋转矩阵：

绕 X 轴的旋转矩阵：

3.2 旋转矩阵到欧拉角

从旋转矩阵恢复欧拉角的方法相对复杂，但可以通过以下公式计算。假设旋转矩阵 R
R 是 3x3 矩阵：

俯仰角 θ
θ（绕 Y 轴旋转）：

偏航角 ψ
ψ（绕 Z 轴旋转）：

滚转角 ϕ
ϕ（绕 X 轴旋转）：

3.3 四元数到旋转矩阵

四元数q=w+xi+yj+zk 用来表示旋转，其中w 是标量部分，x,y,z 是向量部分。四元数到旋转矩阵的转换公式如下：
假设四元数 q=(w,x,y,z)，旋转矩阵 R 为：

3.4 旋转矩阵到四元数

如果你有旋转矩阵 R，你可以从中恢复四元数 q=(w,x,y,z)。具体计算方法如下：
计算 w：

计算 x、y、z：

3.5 四元数到欧拉角

从四元数 q=(w,x,y,z) 到欧拉角的转换，可以使用以下公式：
俯仰角θ：

偏航角ψ：

滚转角ϕ：

3.6 欧拉角到四元数

从欧拉角 ϕ,θ,ψ（滚转、俯仰、偏航）到四元数的转换公式如下：q=(w,x,y,z)
其中：

4. 代码转换

transforms3d 是一个 Python 库，可以帮助进行这些不同旋转表示之间的转换。下面是如何使用 transforms3d 进行欧拉角、旋转矩阵和四元数之间的相互转换。

如果你还没有安装 transforms3d，可以通过 pip 安装：

pip install transforms3d

4.1 欧拉角到旋转矩阵

假设有一个欧拉角 euler（以弧度为单位），可以使用 transforms3d 中的 euler2mat 函数来得到旋转矩阵：

import transforms3d as t3d
import numpy as np

# 假设欧拉角是绕X, Y, Z轴的旋转
euler_angles = np.radians([30, 45, 60])  # 例如 30°，45°，60°绕X, Y, Z轴旋转

# 转换为旋转矩阵
rotation_matrix = t3d.euler.euler2mat(*euler_angles)

print("Rotation Matrix:")
print(rotation_matrix)

4.2 欧拉角到四元数

可以使用 euler2quat 来将欧拉角转换为四元数：

# 欧拉角到四元数
quaternion = t3d.euler.euler2quat(*euler_angles)

print("Quaternion:")
print(quaternion)

4.3 旋转矩阵到欧拉角

如果已经有了一个旋转矩阵，使用 mat2euler 函数可以将其转换为欧拉角：

# 旋转矩阵到欧拉角
euler_from_matrix = t3d.euler.mat2euler(rotation_matrix)

print("Euler Angles (radians):")
print(euler_from_matrix)

4.4 旋转矩阵到四元数

可以使用 mat2quat 将旋转矩阵转换为四元数：

# 旋转矩阵到四元数
quaternion_from_matrix = t3d.quaternions.mat2quat(rotation_matrix)

print("Quaternion from Matrix:")
print(quaternion_from_matrix)

4.5 四元数到欧拉角

如果有一个四元数，使用 quat2euler 可以将其转换为欧拉角：

# 四元数到欧拉角
euler_from_quat = t3d.euler.quat2euler(quaternion)

print("Euler Angles from Quaternion (radians):")
print(euler_from_quat)

4.6 四元数到旋转矩阵

最后，使用 quat2mat 可以将四元数转换为旋转矩阵：

# 四元数到旋转矩阵
matrix_from_quat = t3d.quaternions.quat2mat(quaternion)

print("Rotation Matrix from Quaternion:")
print(matrix_from_quat)

4.7 总结

欧拉角 -> 旋转矩阵: euler2mat
欧拉角 -> 四元数: euler2quat
旋转矩阵 -> 欧拉角: mat2euler
旋转矩阵 -> 四元数: mat2quat
四元数 -> 欧拉角: quat2euler
四元数 -> 旋转矩阵: quat2mat

在进行这些转换时，注意欧拉角通常使用弧度表示，因此需要使用 np.radians 和 np.degrees 来在度和弧度之间进行转换