信号与系统:卷积

本文主要介绍了卷积的相关知识。首先阐述了卷积的定义,包括卷积和与卷积积分,给出了离散和连续时间信号的表示及证明。接着介绍了卷积的运算性质,如交换律、结合律和分配律,还说明了卷积在LTI系统中的应用,涉及无记忆、可逆、稳定和因果系统。

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卷积

一、卷积的定义

(一)卷积和

1.离散时间信号可以表示为加权延时脉冲的线性和
x[n]=∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k]x[n]=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]x[n]=k=+x[k]δ[nk]

证明
在这里插入图片描述
x[n]=x[−1]δ[n−1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n+1]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k] \begin{aligned} x[n]&=x[-1]\delta[n-1]+x[0]\delta[n]+x[1]\delta[n+1]+·······\\&=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k] \end{aligned} x[n]=x[1]δ[n1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n+1]+=k=+x[k]δ[nk]
从图像上我们可以很直观的看到一个离散时间信号可以表示成加权移位脉冲的线性和。

2.卷积和y[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]=x[n]∗h[n]{y[n]=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]}=x[n]\ast h[n]y[n]=k=+x[k]h[nk]=x[n]h[n]

证明
∵δ[n]⟶h[n]\because \delta[n]\longrightarrow h[n]δ[n]h[n]
由LTI系统的线性时不变特性可知:
∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k]⟶∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]\longrightarrow \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]k=+x[k]δ[nk]k=+x[k]h[nk]
∴x[n]⟶y[n]=x[n]∗h[n]\therefore x[n] \longrightarrow y[n]=x[n] *h[n]x[n]y[n]=x[n]h[n]证毕。


(二)卷积积分

1.连续时间信号可以表示成加权延时脉冲的线性积分
x(t)=∫−∞+∞x(τ)δ(t−τ)dτx(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\taux(t)=+x(τ)δ(tτ)dτ

证明
在这里插入图片描述
由图可知,任意一个连续的时间信号可以分解成一系列矩形窄脉冲的和:
f(t)=lim⁡Δ→0∑n=−∞+∞f(nΔ)δΔ(t−nΔ)=∫−∞+∞f(τ)δ(t−τ)dτ=f(t)∗δ(t) \begin{aligned} f(t)&=\lim_{\varDelta\rightarrow0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n\varDelta)\delta_\varDelta(t-n\varDelta)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\\ &=f(t)*\delta(t) \end{aligned} f(t)=Δ0limn=+f(nΔ)δΔ(tnΔ)=+f(τ)δ(tτ)dτ=f(t)δ(t)
其中:∫−∞+∞δ(t)dt=1{\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1}+δ(t)dt=1,所以一个连续时间信号可以由它自己表示,同样的也体现了δ{\delta}δ函数的抽样性质,它将在f(τ)在t{f(\tau)}在tf(τ)t时间范围内的值全部抽样了出来。

2.卷积积分y(t)=∫−∞+∞f(τ)h(t−τ)dτ=f(t)∗h(t){y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau}=f(t)\ast h(t)y(t)=+f(τ)h(tτ)dτ=f(t)h(t)

证明

∵δ(t)⟶h(t)\because \delta(t)\longrightarrow h(t)δ(t)h(t)
由LTI系统的线性时不变特性可知:
∫−∞+∞f(τ)δ(n−τ)dτ⟶∫−∞+∞f(τ)h(n−τ)dτ\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(n-\tau)d\tau\longrightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)h(n-\tau)d\tau+f(τ)δ(nτ)dτ+f(τ)h(nτ)dτ
∴f(t)⟶y(t)=f(t)∗h(t)\therefore f(t) \longrightarrow y(t)=f(t)*h(t)f(t)y(t)=f(t)h(t)证毕。


二、卷积的运算性质及在LTI系统的应用

(一)卷积的运算性质

1.交换律x∗h=h∗x{x*h=h*x}xh=hx

由此可知:对于LTI系统,输入和脉冲响应的顺序应并不会影响到最终的输出结果。

2.结合律(x∗h1)∗h2=x∗(h1∗h2){(x*h_1)*h_2=x*(h_1*h_2)}(xh1)h2=x(h1h2)

由此可知:对于LTI系统来说,系统级联的顺序不影响最终输出的结果

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

3.分配律x∗(h1+h2)=x∗h1+x∗h2{x*(h_1+h_2)=x*h_1+x*h_2}x(h1+h2)=xh1+xh2

由此可知:并联系统可由一个系统来表示

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述


(二)卷积在LTI系统的应用

1.无记忆系统

要使系统无记忆,即输出的值仅与某一时刻有关,其余时刻无关。所以:h=kδ{h=k\delta}h=kδ

2.可逆系统

x∗(h∗hi)=x⟶h∗hi=δ,∴hi与h互为逆系统{x*(h*h_i)=x\longrightarrow h*h_i=\delta, \therefore h_i与h互为逆系统}x(hhi)=xhhi=δ,hih

3.稳定系统:输入有界,则输出也有界

∑k=−∞+∞∣h[k]∣<∞{\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h[k]|<\infty}k=+h[k]<∫−∞+∞∣h(τ)∣dτ{\int_{-\infty}^{+\infty}|h(\tau)|d\tau}+h(τ)dτ

4.因果系统:系统无法预测在某一时刻前输入之后的变化

h(t)=0 ,t<0或h[n] ,n<0{h(t)=0\ ,t<0或h[n]\ ,n<0}h(t)=0 ,t<0h[n] ,n<0

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