【GAMES101学习笔记】03 - 基础矩阵变换

1. 二维线性变换

对向量 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 进行线性变换

$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}x+a_{12}y\\ a_{21}x+a_{22}y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$$

1.1 缩放（Scaling）

缩放变换是一种沿着 坐标轴作用 的变换

$$scale(s_x,s_y)=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]$$

除了 $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$ 保持不变，其他所有点变为 $\left[\begin{array}{c}{s}_{x}x\\ s_{y}y\end{array}\right]$

第一种情况：x 方向和 y 方向均缩小0.5倍

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

第二种情况：x 方向缩小 0.5 倍， y 方向不变

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

1.2 反射（Reflection）

进行一个镜像的变换

$$\begin{array}{rl}& x^{\prime }=-x\\ & y^{\prime }=y\end{array}$$

沿着 y 轴进行翻转操作

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

1.3 切变（Shearing）

把物体的其中一边固定，然后拉动对应的另外一边

$$\begin{array}{r}shear-x(s)=\left[\begin{array}{cc}1& s\\ 0& 1\end{array}\right]\\ shear-y(s)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ s& 1\end{array}\right]\end{array}$$

沿着 x 轴方向拉动 a 距离

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

NOTE :

• 水平方向：$x^{\prime }=x+ay$
  • y = 0 的部分不变化
  • y = 1 的部分右移 a 距离
     
• 竖直方向：$y^{\prime }=y$
  • 不变化

1.4 旋转

默认规定：

• 绕原点 $(0,0)$ 进行旋转；
• 旋转方向为逆时针。

记为；
$$rotate(\varphi )=\left[\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$$

可知：

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \varphi -y\sin \varphi \\ y^{\prime }=y\cos \varphi +x\sin \varphi \end{array}$$

即：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

绕原点逆时针旋转 45°

$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$

1.5 位移

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+t_x\\ y^{\prime }=y+t_y\end{array}$$

但是当存在位移变换时，便无法仅靠一个二维矩阵的变换来进行表示：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]$$

1.5.1 齐次坐标

增加一个维度，提供更多的信息，将二维向量区分为“点”和“位移向量”：

• $2D-point=(x,y,1{)}^T$
• $2D-vector=(x,y,0{)}^T$

使用的 1 和 0 是有实际意义的：

• vector + vector = vector（三角形法则：向量的叠加）
• point - point = vector（生成从第二个点指向第一个点的向量）
• point + vector = point（点进行位移）
• point + point = 这2个点的中点

可以通过三维空间中的一个点集去表示二维空间中的一个点

• 这个点集即是“视点”出发，穿过二维空间中“可视平面”上的该点的射线
• 射线点集 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ w\end{array}\right]$ 表示“可视平面”上的点 $\left[\begin{array}{c}x/w\\ y/w\\ 1\end{array}\right]$ ，$w\ne 0$

此时可以使用矩阵变换去表示一个位移变换

• 当“点”进行位移时，会发生相应的变化：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ 1\end{array}\right]$$

• 当“位移向量”进行位移时，不会发生变化：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right]$$

1.5.2 仿射变换

“线性变换” + “位移变换”

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]$$

使用齐次坐标表示仿射变换：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

NOTE：

• 仅在仿射变换下最后一排是 $(0,0,1)$

1.6 变换的组合

• 一个复杂变换可以拆分成若干个基础变换
• 变换顺序需要注意 —— 矩阵的乘法不满足交换律

$$R_{45}\cdot T_{(1,0)}\ne T_{(1,0)}\cdot R_{45}$$

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=R_{45}\cdot T_{(1,0)}\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=T_{(1,0)}\cdot R_{45}\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

组合应用若干变换 $A_1,A_2,A_3,\dots$

$$A_n(\dots A_2(A_1(x)))=A_n\dots A_2\cdot A_1\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

NOTE ：
矩阵有结合律，可以用一个矩阵表示这一系列的复合变换

2. 三维线性变换

2.1 仿射变换

• $3D-point=(x,y,z,1{)}^T$

• $3D-vector=(x,y,z,0{)}^T$

• 射线点集 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right]$ 表示“可视三维平面”上的点 $\left[\begin{array}{c}x/w\\ y/w\\ z/w\\ 1\end{array}\right]$ ，$w\ne 0$

使用四维矩阵表示三维空间中的仿射变换

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

2.2 缩放变换

$$Scale(s_x,s_y,s_z)=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2.3 位移变换

$$T(t_x,t_y,t_z)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2.4 旋转变换

$$R_x(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$R_y(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \alpha & 0& \sin \alpha & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \alpha & 0& \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$R_z(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0& 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2.4.1 欧拉角

$$R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )=R_x(\alpha )R_y(\beta )R_z(\gamma )$$

• 使用三个角：$roll$ , $pitch$ , $yaw$

2.4.2 罗德里格斯（Rodrigues）旋转方程

绕着某个过原点的轴 $\mathbf{n}$ 旋转 $\alpha$ 角度 ：

$$\mathbf{R}(\mathbf{n},\alpha )=\cos (\alpha )\mathbf{I}+(1-\cos (\alpha ))\mathbf{n}{\mathbf{n}}^T+\sin (\alpha )\left(\begin{array}{ccc}0& -n_z& n_y\\ n_z& 0& -n_x\\ -n_y& n_x& 0\end{array}\right)$$

式中的矩阵形式类似叉乘矩阵