【GAMES201学习笔记】01- 拉格朗日视角

1. 拉格朗日视角 vs 欧拉视角

拉格朗日视角：其中的元素跟随一起移动。

欧拉视角 ：其中的元素固定在对应的地方，网格的点对应的速度。

2. 弹簧质点系统

胡克定律

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{f}}_{ij}& =-k(\Vert {\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_j{\Vert }_2{l}_{ij})\widehat{{\mathbf{x}}_{ij}}\\ {\mathbf{f}}_i& =\sum _j^{j\ne i}{\mathbf{f}}_{ij}\end{array}$$

牛顿第二定律

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial {\mathbf{v}}_i}{\partial t}& =\frac{1}{m_i}{\mathbf{f}}_i\\ \frac{\partial {\mathbf{x}}_i}{\partial t}& ={\mathbf{v}}_i\end{array}$$

2.1 时间积分

前欧拉（显式）积分器 ：根据现有状态推测以后的状态

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{v}}_{t+1}& ={\mathbf{v}}_t+\Delta t\frac{{\mathbf{f}}_t}{m}\\ {\mathbf{x}}_{t+1}& ={\mathbf{x}}_t+\Delta t{\mathbf{v}}_t\end{array}$$

半隐式欧拉积分器 ：根据现有状态推测以后的状态，速度根据推测出的速度计算

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{v}}_{t+1}& ={\mathbf{v}}_t+\Delta t\frac{{\mathbf{f}}_t}{m}\\ {\mathbf{x}}_{t+1}& ={\mathbf{x}}_t+\Delta t{\mathbf{v}}_{t+1}\end{array}$$

2.2 代码

1. 计算速度：${\mathbf{v}}_{t+1}={\mathbf{v}}_t+\Delta t\frac{{\mathbf{f}}_t}{m}$
2. 与地面碰撞（防止计算位移之后陷入地下）
3. 计算位移：${\mathbf{x}}_{t+1}={\mathbf{x}}_t+\Delta t{\mathbf{v}}_{t+1}$

@ti.kernel
def substep():
    # Compute force and new velocity
    n = num_particles[None]
    for i in range(n):

        v[i] *= ti.exp(-dt * damping[None]) # 阻尼
        total_force = ti.Vector(gravity) * particle_mass
        
        for j in range(n):
            # 两个粒子有弹簧时
            if rest_length[i, j] != 0:
                x_ij = x[i] - x[j]
                total_force += -spring_stiffness[None] * (x_ij.norm() - rest_length[i, j]) * x_ij.normalized()
        v[i] += dt * total_force / particle_mass
        
    # Collide with ground
    for i in range(n):
        if x[i].y < bottom_y:
            x[i].y = bottom_y
            v[i].y = 0

    # Compute new position
    for i in range(num_particles[None]):
        x[i] += v[i] * dt

NOTE ：

• 其中 $\Delta t$ 需要满足一下情况：
  $$\Delta t=c\sqrt{\frac{m}{k}}(c\sim 1)$$

2.3 质点系统

隐式时间积分 ：

x t + 1 = x t + Δ t v t + 1 v t + 1 = v t + Δ t M − 1 f ( x t + 1 ) \begin{aligned} \bold{x}_{t+1} &= \bold{x}_t + \Delta t \bold{v}_{t+1} \\ \bold{v}_{t+1} &= \bold{v}_t + \D