旋转矩阵和复数之间的关系构建以及可视化

旋转矩阵和复数之间的关系

旋转矩阵和复数之间的关系可以通过几何变换和复数代数来推导。以下是详细的推导过程，将旋转矩阵与复数乘法联系起来。

一、复数的几何表示

复数 $z=a+bi$ 可以表示为平面上的一个点，实部 $a$ 是横轴坐标，虚部 $b$ 是纵轴坐标。

对于单位复数 $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$，它表示复平面上一点以原点为中心逆时针旋转角度 $\theta$。

二、复数旋转的作用

设复平面上的任意点 $z_1=x+yi$，将其与单位复数 $e^{i\theta }$ 相乘：
$$z_2=e^{i\theta }\cdot z_1=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+yi)$$

展开复数乘法：
$$z_2=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )$$

从几何上看，这个操作将点 $(x,y)$ 逆时针旋转了角度 $\theta$，得到新的点 $(x^{\prime },y^{\prime })$：
$$x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta ,y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$$

三、旋转矩阵的构造

将上述变换写成矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

这里的矩阵：
$$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
就是旋转矩阵。

四、复数和旋转矩阵的关系

1. 复数对应的矩阵：
   任意复数 $z=a+bi$ 可以表示为矩阵：
   $$M(z)=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$$

2. 单位复数对应的旋转矩阵：
   对于单位复数 $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$，对应的矩阵正是旋转矩阵：
   $$M(e^{i\theta })=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

3. 复数乘法对应矩阵乘法：
   设 $z_1=a_1+b_{1}i$ 和 $z_2=a_2+b_{2}i$，复数乘法：
   $$z_1\cdot z_2=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+i(a_1{b}_2+b_1{a}_2)$$
   对应的矩阵乘法：
   $$M(z_1)\cdot M(z_2)=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& -b_1\\ b_1& a_1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_2& -b_2\\ b_2& a_2\end{array}\right]$$
   结果与复数乘法一致。

五、从复数到旋转矩阵的推导总结

1. 复数 $z=e^{i\theta }$ 描述平面旋转角度 $\theta$。
2. 复数乘法对点进行旋转，可以通过代数展开得到点的新坐标。
3. 这种旋转可以用矩阵形式表示，最终得到旋转矩阵 $R(\theta )$：
   $$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

六、MATLAB可视化代码

% MATLAB代码：复数旋转的可视化

clc;
clear;
close all;

% 原点
origin = [0, 0];

% 定义初始复数点 z1
z1 = 1 + 1i;  % 实部为1，虚部为1
x1 = real(z1);
y1 = imag(z1);

% 定义旋转角度（单位：弧度）
theta = pi/6; % 旋转角度30度
rotation_matrix = [cos(theta), -sin(theta); sin(theta), cos(theta)]; % 旋转矩阵

% 使用复数进行旋转
z2 = z1 * exp(1i * theta); % 旋转后的复数
x2 = real(z2);
y2 = imag(z2);

% 使用旋转矩阵进行旋转
rotated_point = rotation_matrix * [x1; y1];
x2_matrix = rotated_point(1);
y2_matrix = rotated_point(2);

% 检查复数计算和矩阵计算是否一致
assert(abs(x2 - x2_matrix) < 1e-10 && abs(y2 - y2_matrix) < 1e-10, ...
    '复数计算和矩阵计算结果不一致');

% 绘图
figure;
hold on;
grid on;
axis equal;
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imaginary Axis');
title('Visualization of Complex Rotation and Matrix Transformation');

% 绘制原点和复数点
plot([origin(1), x1], [origin(2), y1], 'b-', 'LineWidth', 1.5); % 初始复数点的连线
plot([origin(1), x2], [origin(2), y2], 'r--', 'LineWidth', 1.5); % 旋转后的复数点的连线
plot(real([z1, z2]), imag([z1, z2]), 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % 点z1和z2

% 标注
text(x1, y1, '  z_1', 'FontSize', 12, 'Color', 'b');
text(x2, y2, '  z_2', 'FontSize', 12, 'Color', 'r');
legend({'Initial Complex Point', 'Rotated Complex Point'}, 'Location', 'Best');

% 绘制坐标轴
line([-1.5, 1.5], [0, 0], 'Color', 'k', 'LineWidth', 1); % 实轴
line([0, 0], [-1.5, 1.5], 'Color', 'k', 'LineWidth', 1); % 虚轴

% 保存图像
saveas(gcf, 'Complex_Rotation_Visualization.png');

• 代码实现的功能简单说明

1. 复数旋转：

   • 通过复数乘法 $z_2=z_1\cdot e^{i\theta }$ 实现旋转。
   • 将复数点从初始位置旋转一个角度。

2. 旋转矩阵计算：

   • 用二维旋转矩阵 $R(\theta )$ 对复数点的实部和虚部进行线性变换，计算旋转结果。
     $$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

3. 一致性验证：

   • 比较复数旋转和矩阵变换的结果，确保数学上等价。

4. 可视化旋转：

   • 在复平面上绘制旋转前后复数点的变化，用蓝线和红线表示旋转前后的向量。

5. 保存图像：

   • 将结果图保存为图片，直观展示旋转过程。