非奇异快速终端滑膜控制(NFTSM)

非奇异快速终端滑模控制(Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Contral，NFTSM)

在终端滑膜控制中，最后的部分我们抛出了收敛速度的问题，所以在此基础上，我们提出非奇异快速终端滑膜控制，非奇异快速终端滑膜控制主要解决了非奇异终端滑模控制中的收敛速度问题。

非奇异快速终端滑模的滑模面

$$s=\alpha x_1+c{x}_2+\beta x_2^{\frac{p}{q}}$$

其中 $p>q(1<p/q<2)$ 且 $p,q$ 为正奇数，上式中的 $c$ 的取值为：
$$c=\{\begin{array}{ll}\epsilon & ,|X|<1\\ \epsilon |X{|}^2& ,|X|>1\end{array}$$
非线性项保证系统状态在远离平衡状态较大时能快速趋近平衡状态，线性项使系统状态在接近平衡状态时快速收敛；而且由于非线性项$x_2^{\frac{p}{q}}$，得到的控制律能保证不出现奇异点问题。如果状态变量与滑模面 $s=0$ 距离相对很大时，也就是 $|X|$ 值相对较大，即线性滑膜 $\alpha x_1+c{x}_2$ 对于状态变量的收敛速度发挥着重要作用，在状态变量与滑膜面 $s=0$ 相对很近时，$|X|$ 逐渐降低并趋向于0，此时系统状态变量决定着线性滑膜中 $c$ 的大小，也就是说，此时可以忽略线性滑膜，非奇异终端滑膜 $\alpha x_1+\beta x_2^{\frac{p}{q}}$ 作为滑膜运动的关键，滑膜运动能够稳定在平衡位置。

当然我们也有另一种定义终端滑模的方法
$$s=x_1+\frac{1}{\alpha }{x}_1^{g/h}+\beta x_2^{p/q}$$
其中 $p,q,g,h$ 为奇数且满足 $1<p/q<2,g/h>p/q$

控制器设计

考虑二阶不确定非线性系统
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=f(x)+g(x)u+d(x)\end{array}$$
其中$x=[x_1,x_2{]}^T$，$d(x)$ 代表不确定的外部干扰，且有 $d(x)\le D$，即干扰有上界

对于二阶系统我们可以将滑膜面设计为
$$s=x_1+\frac{1}{\alpha }{x}_1^{g/h}+\beta x_2^{p/q}$$
非奇异滑膜控制器设计为
$$u=-g^{-1}(x)(f(x)+\beta \frac{q}{p}{x}_2^{2-\frac{q}{p}}(1+\frac{g}{\alpha h}{x}_1^{g/h-1})+{\rho }_{1}s+{\rho }_2{s}^{m/n})$$
其中 $g,h,m,n$ 均为奇数，满足$g/h>p/q$， $0<m/n<1$ ，且$\alpha ,\beta ,{\rho }_1,{\rho }_2$ 为奇数

为何会有这么多种滑模面

非奇异快速终端滑膜控制指的是一类控制方法，而不是某一种控制方法，感觉实现了这种功能的都可以叫这种名字