非线性扰动观测器(NDOB)

干扰观测器是控制中非常常见的一种方法，本节推导的是一种简单的非线性干扰观测器NDOB

朴素NDOB观测器

假设非线性系统方程为
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =f(x)+g_1(x)u+g_2(x)d\\ y& =h(x)\end{array}$$
其中 $d$ 为扰动，$u$ 为控制量，我们期望对扰动进行估计，不妨假设扰动为 $\hat{d}$ ,那么扰动的估计误差为
$$\tilde{d}=d-\hat{d}$$
对扰动误差 $\tilde{d}$ 求导，可得（这里注意，我们对真实扰动没有一点先验知识，这里最不失一般性的假设就是，她的导数为0）：
$$\dot{\tilde{d}}=\dot{d}-\dot{\hat{d}}=-\dot{\hat{d}}$$
为了让 $\tilde{d}$ 尽快收敛，我们可以命令其等于如下形式
$$\dot{\tilde{d}}=-\dot{\hat{d}}=-l(x)g_2(x)\tilde{d}$$
上面这个等式是我们人为设计的一种 $\tilde{d}$ 的趋近律，也就是我们希望扰动的估计误差如何趋近于0，我们可以任意选择 $l(x)$ ,只要保证上面的误差估计趋近于0即可。

基于上述的趋近律，我们带入到非线性系统方程可以得到：
$$\begin{array}{rl}\dot{\hat{d}}& =l(x)g_2(x)\tilde{d}\\ & =l(x)g_2(x)(d-\hat{d})\\ & =l(x)(g_2(x)d-g_2(x)\hat{d})\\ & =l(x)(\dot{x}-f(x)-g_1(x)u-g_2(x)\hat{d})\\ & =l(x)(\dot{x}-f(x)-g_1(x)u)-l(x)g_2(x)\hat{d}\end{array}$$
上面我们就推导了最为朴素的非线性扰动观测器，但是我们发现，这个扰动观测器需要用到 $\dot{x}$ 这一项，很明显，大多数系统都不可能得到这项的观测，所以这个观测器需要做一些改进。

改进NDOB观测器

最朴素的把 $\dot{x}$ 消掉的思路就是，在观测器的左右两遍同时减去 $l(x)\dot{x}$:
$$\dot{\hat{d}}-l(x)\dot{x}=l(x)(-f(x)-g_1(x)u)-l(x)g_2(x)\hat{d}$$
这样公式的右侧就没有 $\dot{x}$ 这一项了，我们对等式的左右两边进行积分：
$$\begin{array}{rl}p(x)& =\int l(x)\dot{x}\text{d}x\\ \hat{d}-p(x)& =\int l(x)(-f(x)-g_1(x)u)-l(x)g_2(x)\hat{d}\text{d}x\end{array}$$
设置一个中间变量 $z=\hat{d}-p(x)$ ，那么对 $z$ 进行求导可以得到：
$$\begin{array}{rl}\dot{z}& =l(x)(-f(x)-g_1(x)u)-l(x)g_2(x)\hat{d}\\ & =l(x)(-f(x)-g_1(x)u)-l(x)g_2(x)(z+p(x))\\ & =l(x)[-f(x)-g_1(x)u+g_2(x)p(x)]-l(x)g_2(x)z\end{array}$$
上面是一个针对中间变量 $z$ 的观测器，有了 $z$ 以后，扰动估计量 $\hat{d}$ 也可以很容易得到:
$$\hat{d}=z+p(x)$$
这里我们实现了扰动的观测，还遗留了一个最重要的问题， $p(x)$ 是什么，刚才我们假设了 $p(x)=\int l(x)\dot{x}\text{d}t$，所以也存在了如下的关系：
$$l(x)=\frac{\partial p(x)}{\partial x}\to \frac{\text{d}p(x)}{\text{d}t}=l(x)\dot{x}$$
如何确定 $p(x)$ 呢？有两种方式，一种是先选定 $l(x)$ ，然后对 $x$ 积分，求 $p(x)$ 。另一种方式则是，先自由选定 $p(x)$ ，但是 $l(x)$ 则必须满足上述关系。

李雅普诺夫证明稳定性

假设李雅普诺夫函数
$$V=\frac{1}{2}{\tilde{d}}^2$$
对其求导，之前我们就假设了扰动的导数为0，即这个扰动是一个常数，反正波动不会很大
$$\dot{V}=\tilde{d}\dot{\tilde{d}}=\tilde{d}(\dot{d}-\dot{\hat{d}})=-\tilde{d}\dot{\hat{d}}$$
其中
$$\begin{array}{rl}\dot{\hat{d}}& =\dot{z}+\dot{p}(x)\\ & =\dot{z}+l(x)\dot{x}\\ & =l(x)[-f(x)-g_1(x)u+g_2(x)p(x)]-l(x)g_2(x)z+l(x)\dot{x}\\ & =l(x)[-f(x)-g_1(x)u+g_2(x)p(x)]-l(x)g_2(x)z+l(x)(f(x)+g_1(x)u+g_2(x)d)\\ & =l(x)g_2(x)p(x)-l(x)g_2(x)z+l(x)g_2(x)d\\ & =l(x)g_2(x)(p(x)-z+d)\\ & =l(x)g_2(x)\tilde{d}\end{array}$$
所以
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =-\tilde{d}\dot{\hat{d}}\\ & =-\tilde{d}l(x)g_2(x)\tilde{d}\\ & =-l(x)g_2(x){\tilde{d}}^2\\ & =-2l(x)g_2(x){\tilde{d}}^2\end{array}$$
**定理1：**若李雅普诺夫满足以下等式，则系统稳定
$$\dot{V}\le -K{V}^{\lambda };K,\lambda >0$$
所以系统稳定

实际的控制例子

一个二阶系统如下
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =x_2\\ {\dot{x}}_2& =-k|x_2|x_2+bu+d\end{array}$$
其中 $x_1$ 代表位置，$x_2$ 代表速度，$u$ 是控制量， $d$ 代表扰动。
$$\{\begin{array}{l}f(x)=-k|x_2|x_2\\ g_1(x)=b\\ g_2(x)=1\end{array}$$

设计$l(x)=c$ ，则有
$$p(x)=c{x}_2$$
定义中间变量为$z=\hat{d}-p(x)$ ,于是扰动观测器的形式为
$$\begin{array}{rl}\dot{z}& =-l(x)g_2(x)z-l(x)[f(x)+g_1(x)u+g_2(x)p(x)]\\ & =-cz-c(-k|x_2|x_2+bu+c{x}_2)\\ \hat{d}& =z+p(x)=z+c{x}_2\end{array}$$

注意

干扰必须是有界的，否则定理1将不成立，如果只参考结论的话，可以只看最后一个结论