POJ - 2142 扩展欧几里得

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本文探讨了在有限制条件下，使用两种不同重量的砝码称重特定物品的算法。通过解析天平力臂原理，提出了求解最小砝码数量的策略，并提供了详细的代码实现。

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题目链接

POJ-2142

题意

给两种没有数量限制的砝码，重量分别为a和b，现在要在天平上称重量为d的物品，砝码可以放在天平的两侧，问能不能称，不能称输出-1，否则输出使用两种砝码的个数，要求个数和最小

思路

对于天平来说要满足力臂相等，即 $a x + b y = d$ ，其中 $∣ x ∣$ 表示第一种砝码的数量， $∣ y ∣$ 是第二种砝码的数量，那么答案就是 $∣ x ∣ + ∣ y ∣$ ，当xy同号时表示他俩在同一侧，异号表示在两侧。
现在要求 $∣ x ∣ + ∣ y ∣$ 最小。可以证明当整数解 $(x,\ y)$ 离坐标轴最近的时候他们的绝对值之和最小，然后枚举一下两个分别与x轴和y轴最近的两个点，选一个最小的即可。

代码

#include <cstdio>

inline long long abs(long long x) { return x < 0 ? -x : x; }

long long exgcd(long long a, long long b, long long& x, long long& y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long t = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return t;
}

bool solve(long long a, long long b, long long c, long long& x, long long& y) {
    long long g = exgcd(a, b, x, y);
    if (c % g) return false;
    x *= c / g;
    y *= c / g;
    long long tmp = abs(b / g);
    x = (x % tmp + tmp) % tmp;
    y = (c - a * x) / b;
    return true;
}

int a, b, c;
int main() {
    while (~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c)) {
        if (!a && !b && !c) break;
        long long x1, x2, y1, y2;
        if (!solve(a, b, c, x1, y1))
            puts("no solution");
        else {
            solve(b, a, c, y2, x2);
            if (abs(x1) + abs(y1) > abs(x2) + abs(y2))
                printf("%lld %lld\n", abs(x2), abs(y2));
            else
                printf("%lld %lld\n", abs(x1), abs(y1));
        }
    }
    return 0;
}