Gym-101982D （假的）数位dp

最新推荐文章于 2022-08-26 19:00:23 发布

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动态规划

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这篇博客探讨了一道题目，该题目要求找出在0到2的b次方减1之间的所有数中，能被k整除的数的二进制表示中1的个数。博主通过设立g[i][j]矩阵表示前i位数字中模k为j的数的1的个数，并给出详细的动态规划转移方程。同时，博主也定义了f[i][j]矩阵来记录前i位模k为j的数的个数，两者结合求解最终答案。

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链接中的D题

题意

问在 $0, 2^b-1]$ 中为k的倍数的数的二进制表达中1的个数。

思路

$g [i] [j]$ 表示前i位的数中模k为j的数的1的个数，答案为 $g [b] [0]$

第i位数有两种情况，为0的时候 $g [i] [j] = g [i - 1] [j]$ ，为1的时候则1的来源分为两种，前i-1位提供的和第i位提供的。前i-1位提供了 $g [i - 1] [j]$ 个1，然后前i-1位中有多少个数模k等于j就为第i位提供了多少个1，此时这个数比i-1位的时候多了 $2^i$ 所以他对k的模数变成了 $(j+2^i)\mod k$ ，所以转移方程为 $g[i][(j+2^i)\mod k] = g[i-1][j] + 前i-1位模k为j的数的个数$ 。

$f [i] [j]$ 表示前i位模k为j的数的个数

同样讨论第i位数的两种情况，为0的时候 $f [i] [j] = f [i - 1] [j]$ ，为1的时候这个数模k的余数变成了 $(j+2^i)\mod k$ ，所以转移方程为 $f[i][(j+2^i)\mod k] = f[i-1][j]$

因此g数组的转移方程变为了 $g[i][(j+2^i)\mod k]=g[i-1][j] + f[i-1][j]$

代码

#include <cstdio>
const long long mod = 1e9 + 9;
int k, b, t = 1;
long long f[200][1000], g[200][1000];
int main() {
    scanf("%d%d", &k, &b);
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= b; ++i) {
        for (int j = 0; j < k; ++j) {
            f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j]) % mod;
            g[i][j] = (g[i][j] + g[i - 1][j]) % mod;
            f[i][(j + t) % k] = (f[i][(j + t) % k] + f[i - 1][j]) % mod;
            g[i][(j + t) % k] = (g[i][(j + t) % k] + g[i - 1][j] + f[i - 1][j]) % mod;
        }
        t = (t << 1) % k;
    }
    printf("%lld\n", g[b][0]);
    return 0;
}