组合数学の学习笔记

组合数常用公式

$$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!\ast m!}$$
$$C_n^m=C_n^{n-m}$$
$$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$$
$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3...+C_n^n=2^n$$
$${\Sigma }_{i=m}^{n+m}{C}_i^m=C_{n+m+1}^{m+1}$$

（最后一个公式可以由$C_m^m=C_{m+1}^{m+1}$将两项依次合并得到）

二项式定理

$$(x+y{)}^n={\Sigma }_{i=0}^n{C}_n^i{x}^i{y}^{n-i}$$
$x^i$的系数相当于从 n 个二项式中选出 i 个 x
推论：
$${\Sigma }_{i=0}^{2\ast i<=n}{C}_n^{2i}={\Sigma }_{i=0}^{2\ast i<n}{C}_n^{2i+1}$$
（将$(x-x{)}^n$展开即可）
也就是说奇数项=偶数项

斯特林数

第二类斯特林数：将n个物品放入k个非空集合中的方案数，用 { k n } \{^n_k\} {kn​}来表示
常用递推公式：
考虑第一个物品是否单独放入一个集合
{ k n } = { k − 1 n − 1 } + k ∗ { k n − 1 } \{^n_k\}=\{^{n-1}_{k-1}\}+k*\{^{n-1} _k\} {kn​}={k−1n−1​}+k∗{kn−1​}
初始 { 1 n } = { n n } = 1 \{^n_1\}=\{^n_n\}=1 {1n​}={nn​}=1
（好像还有一个容斥原理的做法，但……不会卷积和反演的联赛组菜鸡选手表示放弃）
例题1 Rank
例题2 Rhyme Schemes
例题3 PushBotton Lock

第一类斯特林数
将n个物品分成k个圆排列的方案数，用${[}_k^n]$来表示
常用递推公式：
$${[}_k^n]={[}_{k-1}^{n-1}]+{[}_k^{n-1}]\ast (n-1)$$
初始
$${[}_n^n]=1$$
${[}_{k-1}^{n-1}]$表示将最后一个数单独创建一个圆排列的方案数

${[}_k^{n-1}]\ast (n-1)$表示将最后一个数插入前面k个圆排列中的方案数。对每个圆排列，能插入的位置数即为圆排列的大小，所以总的插入位置数为n-1。
例题1 Pole Arrangement

多重集的组合数

S = { n 1 ∗ a 1 , n 2 ∗ a 2 , n 3 ∗ a 3 , . . . , n k ∗ a k } S=\{n1*a1,n2*a2,n3*a3,...,nk*ak\} S={n1∗a1,n2∗a2,n3∗a3,...,nk∗ak}，选择$r(r\le n_i)$个数，组成的多重集的个数
$$ans=C_{k+r-1}^{k-1}$$

Lucas定理

$C_n^m\equiv C_{n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p}^{m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p}\ast C_{n/p}^{m/p}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P)$

ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m == 0)return 1;
    return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

Catalan数

$$Ca{t}_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$$
理解：给定n个0，n个1，按照某种顺序排列为长度为2n的序列，满足任意前缀的0的个数>=1的个数
应用：

1. n个左括号、n个右括号的合法匹配数$Ca{t}_n$（把左括号看做0，右括号看做1）
2. 1，2，……，n合法的进出栈的方案数
3. n个节点形成的不同的二叉树的个数