0901-证明欧拉函数phi的积性

【写在前面】

一个数若既与 m 互质又与 n 互质，那么他便和 m*n 互质

完全剩余系：一个整数的集合，对 m 取模后，余数遍历了 0; 1; 2; 3; ……m 

欧拉函数：phi（n）-->不超过n且与n互质的整数的个数

特别的：phi（1）=1

现在我们需要证明phi（m*n ) = phi （m ）*phi（n） 【m，n互质】

这个矩阵里列举了从1到m*n的所有数，很容易发现第一行里有phi（m）个与 m 互质的数，而一个数 r 若与 m 互质，则 k * m + r也与m互质，这是显而易见的

然后看任意一列，可以得出结论任意一列都是 n 的完全剩余系，（也就是说没有两个数他们对 n 取模后相等），那么任意一列都有phi（n）个与n互质的数，那么phi（n）*phi（m）便等于 phi（n*m）

所以为什么 任意一列都是 n 的完全剩余系呢？

首先我们假设有两个数对n取余后相等：k1*m+b = k2*m+b (mod n)，那么我们可以改写为k1*m+b = t1*n+r ; k2*m+b= t2*n+r,两两相减则： (k1-k2)m = (t1-t2)n，又因为m和n互质，所以m不能提供n的因数，那么（k1-k2)就必然是n的倍数了，然后又因为k1和k2都是在0~n-1这个范围里的，所以任意两个相减都不会产生n的倍数，那么假设不成立，没有两个数对n取余后相等，证毕

 

一个关于欧拉定理的证明