欧拉函数——从容斥定理和积性函数的性质谈开

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#欧拉函数

本文通过容斥原理和积性函数的性质探讨了欧拉函数的计算方法。揭示了容斥原理得出的欧拉函数公式与积性函数公式之间的联系，即前者为后者的多项式展开。
欧拉函数——从容斥原理和积性函数的性质谈开

容斥原理:



欧拉函数（容斥原理）:




欧拉函数（积性函数）:


如果仔细观察就会发现容斥原理的求出的欧拉函数公式，刚好是积性函数求出的公式的多项式展开式。


csuhoward
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C#实现欧拉函数算法——附完整源码
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04-12 430
欧拉函数是数论中的一个重要函数，用来表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。在本篇文章中，我们将介绍如何使用C#语言实现欧拉函数，并附上完整的源代码。此代码实现采用了传统的欧拉函数计算方式，时间复杂度为O(sqrt(n))，对于任意正整数n都能够正确求解。以上就是本文介绍的关于C#实现欧拉函数算法的内容及相关代码实现。C#实现欧拉函数算法——附完整源码。
ACM_素数筛法 唯一分解定理 欧拉函数(附容斥)
final dream
08-28 898
引言本文将介绍素数筛法: 主要从他的原理, 证明, 代码, 优化来介绍 随后介绍和它有关的唯一分解定理, 以及相似的欧拉函数素数筛法： 一个同辗转相除法同样古老的算法 原理: 如果x 是素数 那么2x, 3x, 4x……都不是素数, 所以如果我们从2开始往后筛, 筛到n, 这时候n没有被前面的任何数标记成不是素数, 那么n就是素数 证明: 第一点: 如果x 是素数 那么2x, 3x, 4
欧拉函数的积性证明
Amazing_self的博客
07-07 2410
欧拉函数的积性证明 文章目录欧拉函数的积性证明积性函数证明符号约定证明思路证明过程对1的证明对2的证明对3的证明综上，证得欧拉函数为积性函数。 积性函数 积性函数 是指对于函数fff，当gcd(m,n)=1gcd(m, n) = 1gcd(m,n)=1时，f(m)f(n)=f(mn)f(m)f(n) = f(mn)f(m)f(n)=f(mn)。 完全积性函数 是指对于函数fff，f(m)(n)=f(mn)f(m)(n) = f(mn)f(m)(n)=f(mn)。 下面我们将证明欧拉函数是积性函数。 证明 目
欧拉函数的积性证明及线性筛
Loceaner的博客
04-26 521
欧拉函数的积性证明 欧拉函数即φ\varphiφ函数 以下两段是从大佬那里淘来的证明 同样的，t⊥nm⇔t⊥n,t⊥m⇔(t mod n)⊥n,(t mod m)⊥mt\perp nm\Leftrightarrow t\perp n,t\perp m\Leftrightarrow(t\bmod n)\perp n,(t\bmod m)\perp mt⊥nm⇔t⊥n,t⊥m⇔(tmodn)⊥n,...
容斥定理，欧拉函数
此博客已废弃
02-26 531
https://blog.youkuaiyun.com/xianglunxi/article/details/9310105 文章目录欧拉函数性质 思想：逆向思维，正面解不方便的时候，考虑其反面 欧拉函数的值：f(n)表示0-n-1过程中与n互素的数的个数 函数值为：先将n表示成质因子之积的形式设为p1,p2,pn,则函数值f（n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)*…*(1-1/pn) //质...
HDU 1695 GCD 欧拉函数+容斥定理
weixin_33994444的博客
12-26 133
输入a b c d k求有多少对x y 使得x在a-b区间 y在c-d区间 gcd(x, y) = k 此外a和c一定是1 由于gcd(x, y) == k 将b和d都除以k 题目转化为1到b/k 和1到d/k 2个区间 如果第一个区间小于第二个区间 讲第二个区间分成2部分来做1-b/k 和 b/k+1-d/k 第一部分对于每一个数i 和他互质的数就是这个数的欧拉函数值 全部数的欧拉函...
专题·莫比乌斯函数与欧拉函数【including 整除分块，积性函数，狄利克雷卷积，欧拉函数，莫比乌斯函数，莫比乌斯反演
樱狸✨愿携清风归来处
11-09 1242
一、整除分块 洛谷P2261 余数求和 二、积性函数 三、狄利克雷卷积 四、欧拉函数 线筛 五、莫比乌斯函数（mu）线筛 六、莫比乌斯反演 洛谷P3455[POI2007]ZAP-Queries
欧拉函数与欧拉定理
RDJ_Widow的博客
01-24 1585
一、欧拉函数的定义：在数论中，对于正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1） 二、欧拉函数： 其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数 注意：每种质因数只取一个 三、欧拉函数的相关性质： 若n为质数，则φ(n)=n-1 手动证明：若n为质数，则n的质因数只有n本身，则φ(n)=n*(1-1/n)=n-1 若m,n互质，则φ(mn)=φ...
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欧拉函数及部分性质
01-07
欧拉函数：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ...2.欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。 3.若n是质数p的k次幂，φ(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其
容斥原理+欧拉函数
ljq1998的博客
01-24 939
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欧拉函数&&容斥原理
u012515742的专栏
03-27 1130
题意：给你五个数 a,b,c,d,在[a,b]闭区间找一个数x,再在[c,d]闭区间中找一个数y，使得(x,y)的最大公约数是k。请找出所有满足条件的不同(x,y)的对数。 1：因为我们知道gcd(x/k,y/k)=1，重新定义两个区间[1,int(b/k]和[1,int(d/k)]; 2:找两个区间相互互质的就行了，假设b‘ 3：对于[b'+1,d']则需要用容斥原理，从该区间任取x，则需
2017-07-07：欧拉函数&&容斥原理
g19ly的博客
07-07 581
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欧拉函数积性证明
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07-18 348
https://blog.youkuaiyun.com/qq_40679299/article/details/79331101#comments
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初等数论--欧拉函数积性的证明
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对欧拉函数的介绍与证明
一些简单数论函数是积性函数的证明
wanglianda2007的博客
03-20 592
一些常见数论函数和狄利克雷卷积是积性函数的证明。
浅谈欧拉函数的证明及其性质
ltrbless的博客
02-15 3745
欧拉函数简介： 在数论中，对于正整数n，欧拉函数是小于n的正整数(1 <= n )中与n互质的数的数目（特殊的 ： φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler's totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理...
欧拉函数积性性质的证明
10-09
欧拉函数φ(n)，也称为欧拉 totient 函数，其积性性质是指对于任意两个正整数m和n，它们的欧拉函数值满足 φ(mn) = φ(m) * φ(n) / gcd(m, n)。这个性质的证明基于几个关键步骤： 1. **分解定理**：每个正整数都可以唯一地表示为质数的乘积，即 \( m = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} \)，其中\( p_i \)是不同的素数，\( a_i \geq 0 \)。 2. **基本性质**：如果p是m的因数，则\( p^{\alpha+1} | φ(m) \)（因为p不是m的完全幂），而对于其他非p的因子，\( φ(p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\alpha-1} \)。这意味着对于m的每一个因数，除了它本身外，它的每个倍数都会减少φ值的一个因数。 3. **递归应用**：考虑mn的因数分解，由于gcd(m, n)会分解成各个质因数的最小指数的乘积，我们可以将m和n各自分解，并注意到对每一个公共的质因数，φ值都会相乘然后除以其在m和n中的最小指数次方，这是基于前面的基本性质。 4. **组合**：最后，将所有非公共的因数以及公共因数的φ值相乘，就得到了φ(mn)的计算结果，这正是φ(m)和φ(n)相乘再除以gcd(m, n)的结果。 这个证明利用了数论中的基本概念和技巧，展示了欧拉函数如何反映出数的整体结构特性。
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