1,概念
在数论,对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目(φ(1)=1)。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler'so totient function),它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。
2,讲解
通式:

其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。
φ(1)=1(唯一和1
互质的数(小于等于1)就是1本身)。
注意:每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂,
,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。

设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值
φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是
积性函数——若m,n互质,

特殊性质:当n为奇数时,
, 证明与上述类似。

若n为质数则
3,更重要的
欧拉公式的引伸:
小于或等于n的数中,与n互质的数的总和为:φ(n) * n / 2 (n>1)

前面1,2点比较容易证明,就略了。
第三点来说一下:
先来理解这句话“与n互质的数与n相减也是与n互质的数”
所以我们假设 小于或等于n的数中,与n互质的数的总和为x;
即有x = (n-x1)+(n-x2)+(n-x3)+... ...+(n-xn) = φ(n) * n -(x1+x2+x3+x4+... ...+xn)=φ(n) * n - x 即有x = φ(n) * n / 2
(其中x1,x2,x3...xn是小于或等于n的数中,与n互质的数)
题目有:hdu 3501