差分约束学习笔记-优快云博客

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一.差分约束系统

如果一个系统有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,···,x_n$ 和 $m$ 个约束条件（也是不等式）和** $m$ 个常量 $w_1,w_2,···,w_m$ 。每一个不等式形如以下格式 $x_i - x_j \le w_k$ （ $\le i,j \le n$ ， $\le k \le m$ ）。则称之为差分约束系统。**

这个名字的由来是这样的：“差分”代表的是每一个约束条件里面都是做差的形式，“约束”代表的是每一个差都有一个最大值上界作为约束，“系统”字面意思。

有如下几个问题：

1.有没有解

2.求一组解

3.一组变量（ $a - b$ ）的极值

4.在额外条件下，变量和最值

…

容易发现，差分约束系统的解要么就无解，要么就有无数组解。

且这东西很容易识别，如果有一堆不等式每一个都形如 $x_i - x_j \le w_k$ 这个格式，那么这个解决方法十有八九就是差分约束了。

这个东西的问题很清晰，接下来我们来看如何解决提出的这几个问题。

二.解的判断与求解

差分约束**做了一个模型转化，将一个不等式组的问题转化为了一个图论问题。**是不是很神奇？

在大学的计算机课程中，有一个东西叫做问题规约，即将一个问题的模型奇妙地转化为了另一个问题的模型。现在我告诉你，你只需要会求解图论中的最短路，你就可以做这个问题了。

我们将这个格式做一个变换：既然 $x_i - x_j \le w_k$ ，则可以转换为 $x_i \le x_j + w_k$ 。

如果这时把 $x$ 看成就是最短路中的 $d i s$ 数组，则 $dis_i \le dis_j + w_k$ 。

咦，这不就很像最短路中的松弛操作吗？

if (dis[v] > dis[u] + w)
	dis[v] = dis[u] + w;

上面的两行代码相当于 dis[v] = min(dis[v], dis[u] + w) 这条语句。

于是我们得知，当进行一次松弛操作的时候，div[v] 一定 $\le$ dis[u] + w，即 $x_i$ 一定满足 $\le x_j + w_k$ ，恰好满足不等式！

如果将 $w_k$ 看成 $\to i$ 的一条边，则恰好就可以完美吻合！

所以我们尝试将每一个不等式组 $x_i - x_j \le w_k$ 变成 $\to i$ 的一条有向边，**边权为 $w_k$ 。**也就是将每一个约束条件都抽象成了一条边。

这时我们设任意的一个点为 $S$ ，也就是起点，假设 $x_S = 0$ 。因为如果有解，就会有无数的解，就一定有 $x_S = 0$ 为基础的这一组解。

则如果把该松弛的都松弛完了，也就是跑完了全图的从 $S$ 开始的单源最短路，则如果 $\forall 1 \le i \le n,x_i = dis_i$ ，对于任何的不等式都一定满足。

注意，这时候的图包含负权边（谁说 $w_k$ 不能是负数了？），不能使用 dijkstra，需要使用 spfa 算法。

那么如何判断有没有解呢？

这个问题很简单，在上文的字里行间中就存在答案，这个字眼就是“跑完了单源最短路”。如果有某一个点的最短路不存在，则就是无解的。

什么？最短路不存在？你可以想到，不存在最短路，也就是无解，当且仅当图包含负环。

恰好 spfa 又可以判负环，于是在 spfa 求解最短路的过程中顺便判一下负环即可。

举一个例子：

这样的图中显然存在负环，不妨将其重新抽象成差分约束系统：

\begin{matrix}
x_1 - x_3 \le -2 \
x_3 - x_2 \le -2 \
x_2 - x_1 \le 3 \
\end{matrix}

不妨将第一个式子和第二个式子联立起来，得到： $x_1 - x_2 \le -4$ ，两边同时取相反数得到： $x_2 - x_1 \ge 4$ ，但是这样又和第三个式子矛盾了，所以这个差分约束系统无解。

这样我们就同时解决了第一个和第二个问题。

三.特殊处理

看上去我们解决了第二个问题，但实际上第二个问题还没有结束呢！

$2^{+}$ ：如果没有唯一的起点也就是 $S$ ，也就是建出的图压根就不弱连通，怎么办呢？

这时候，我们可以弄一个超级源点，向所有点连一条边权为 $0$ 的边。

但这个时候就有人会问了：那么所有点的最短路值不就全是 $0$ 了吗？

这时候我们分情况。

如果所有的约束条件的 $w$ 都是非负数

这时候所有点的最短路的值的确有可能会全部都是 $0$ 。

但是这个时候任意取两个数 $x_i - x_j$ 都是 $0$ ，而 $0$ 显然 $\le$ 全体非负数，一定成立。

如果有 $w$ 是负数

这个时候最短路的值也有可能被不是 $0$ 。

因为有一个很巧合的点： $0$ 显然 $\ge$ 全体负数，所以也一定成立。

四.模板

P5960 【模板】差分约束

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
const int N = 5010;
vector<pair<int, int> > v[N];
int dis[N], cnt[N];
bool vis[N];

bool spfa(int s) {//spfa算法判断负环
	queue<int> q;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		dis[i] = 1e17;
	dis[s] = 0, vis[s] = 1;
	q.push(s);
	while (!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		vis[u] = 0;
		for (auto [to, w] : v[u])
			if (dis[to] > dis[u] + w) {
				dis[to] = dis[u] + w;
				cnt[to] = cnt[u] + 1;
				if (cnt[to] >= n)
					return 0;//找到负环
				if (!vis[u])
					q.push(to), vis[to] = 1;
			}
	}
	return 1;
}

int main() {
	cin >> n >> m;//这里设n+1号点为超级源点
	n++;
	for (int i = 1; i < n; i++)
		v[n].push_back({i, 0});//连边
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y, w;
		cin >> x >> y >> w;
		v[y].push_back({x, w});//建图
	}
	if (!spfa(n))
		cout << "NO\n";//发现负环就无解了
	else {
		for (int i = 1; i < n; i++)//输出每一个点的最短路作为一组解
			cout << dis[i] << " ";
		cout << endl;
	}
	return 0;
}

P1993 小 K 的农场

题面：有一堆式子和 $n$ 的变量，这些式子形如：

第一种格式， $x_a - x_b \ge c$
第二种格式， $x_a - x_b \le c$
第三种格式， $x_a = x_b$

这下虽然不是普通的差分约束系统，但我们还是可以将其进行一些变换：

$x_a - x_b \ge c$ 可以变成 $x_b - x_a \le -c$ ，符合基本格式。
$x_a - x_b \le c$ 本来就可以使用差分约束求解。
$x_a = x_b$ 可以变成 $x_a - x_b \le 0,x_b - x_a \le 0$ ，也符合基本格式。

这样就可以变成正宗的差分约束系统了。

int main() {
	cin >> n >> m;
	n++;
	for (int i = 1; i < n; i++)
		v[n].push_back({i, 0});
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int op;
		cin >> op;
		if (op == 1) {
			int x, y, w;
			cin >> x >> y >> w;
			v[x].push_back({y, -w});
		} else if (op == 2) {
			int x, y, w;
			cin >> x >> y >> w;
			v[y].push_back({x, w});
		} else {
			int x, y;
			cin >> x >> y;
			v[x].push_back({y, 0});
			v[y].push_back({x, 0});//建图
		}
	}
	if (!spfa(n))
		cout << "No\n";
	else
		cout << "Yes\n";
	return 0;
}