关于费马小定理的证明

费马小定理：设 $p$ 为素数，$a$ 是任意整数且 $a\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$。

我们可以考虑证明特殊数字的情况，再从特殊数推到一般性证明。

考虑证明 $3^6\equiv 1(\mathrm{mod}7)$，为证明它，我们由数 $1,2,3,4,5,6$ 分别乘以 $3$ 然后对 $7$ 取模的结果列入下表：

$x(\mathrm{mod}7)$	1	2	3	4	5	6
$3x(\mathrm{mod}7)$	3	6	2	5	1	4

注意每个数 $1,2,3,4,5,6$ 在第二行和第二行都恰好出现了一次。所以，如果将第二行和第一行中数字乘起来，一定是相同的结果。因此：
$$(3\times 1)(3\times 2)(3\times 3)(3\times 4)(3\times 5)(3\times 6)\equiv 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6(\mathrm{mod}7)$$

整理可得：
$$3^6\times 6!\equiv 6!(\mathrm{mod}7)$$

$6!$ 与 $7$ 互素，可以从两边约去 $6!$ 得到 $3^6\equiv (\mathrm{mod}7)$。正好是费马小定理。

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接下来准备证明一般性的费马小定理。我们可以推出 $3^6\equiv (\mathrm{mod}7)$ 关键是 $1$ 到 $6$ 的所有数，乘以 $3$ 后重新排列。所以我们先验证下述命题：

命题：设 $p$ 为素数，$a$ 是任意整数且 $a\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$，则数
$$a,2a,3a,\cdot \cdot \cdot ,(p-1)a$$
对 $p$ 取模与数
$$1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,p-1$$
相同，允许次序不同。

证明：假设从数列 $a,2a,3a,\cdot \cdot \cdot ,(p-1)a$ 里面选择两个不同的数 $xa$ 和 $ya$，并且假设它们同余，即 $xa\equiv ya(\mathrm{mod}p)$。数列中显然没有一个数被 $p$ 整除，所以 $xa,ya$ 为正整数。

可得出 $p|(x-y)a$，因为 $p$ 不整除 $a$，所以 $p|(x-y)$。由于 $1\le x,y\le p-1$，所以 $|x-y|<p-1$，显然只有 $0<p-1$ 且被 $p$ 整除，但是 $x\ne y$，也就是不可能选择一个 $xa$ 和一个 $ya$。

这表明 $a,2a,3a,\cdot \cdot \cdot ,(p-1)a$ 中，任意两个元素之间对 $p$ 取模都是不同的，由于取模后的取值范围是 $1$ 到 $p-1$，而 $1$ 到 $p-1$ 又有 $p-1$ 个数，因此刚好为 $a,2a,3a,\cdot \cdot \cdot ,(p-1)a$ 对 $p$ 取模的结果，所以命题是成立的。

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得到命题就可以容易的得到费马小定理证明：

由于命题成立，所以
$$a\times (2a)\times (3a)\times \cdot \cdot \cdot \times ((p-1)a)\equiv 1\times 2\times 3\times \cdot \cdot \cdot \times (p-1)(\mathrm{mod}p)$$

整理得
$$a^{p-1}\times (p-1)!\equiv (p-1)!(\mathrm{mod}p)$$

由于 $(p-1)!$ 与 $p$ 互素，约掉 $(p-1)!$
$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

正好为费马小定理，证毕。