MATLAB求解一元多次方程组

火山大兄

已于 2024-07-26 09:35:40 修改

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分类专栏：基础知识文章标签： matlab 算法开发语言

于 2024-07-23 15:03:32 首次发布

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平常我们求解一元多次方程组，计算量很大，算出结果非常麻烦，并且当方程组中有的参数不是数字，而是用字母表示的已知量时，计算过程和结果可能会更加复杂。我们可以使用MATLAB的符号公式来为我们计算求解。

比如现有以下五次多项式公式：

$d(t) = c_{0}+c_{1}t^{1}+c_{2}t^{2}+c_{3}t^{3}+c_{4}t^{4}+c_{5}t^{5}$

多项式的系数c0-c5未知。为简化计算，我们假设已知在t=0时刻的 $d_{0}$ ，一阶导 $\dot{d}_{0}$ ，二阶导 $\ddot{d}_{0}$ ，和t=tp时刻的 $d_{p}$ ，一阶导 $\dot{d}_{p}$ ，二阶导 $\ddot{d}_{p}$ 的具体值。由于因为：

$\dot{d}(t) = c_{1}+2c_{2}t^{1}+3c_{3}t^{2}+4c_{4}t^{3}+5c_{5}t^{4}$

$\ddot{d}(t) =2c_{2}+6c_{3}t^{1}+12c_{4}t^{2}+20c_{5}t^{3}$

所以t=0可以列出3个方程，t=tp可以列出3个方程，共计6个方程6个未知量，可唯一求解：

$d_{0}=c_{0}$

$\dot{d}_{0}=c_{1}$

$\ddot{d}_{0}=2c_{2}$

$d_{p}= c_{0}+c_{1}t_{p}^{1}+c_{2}t_{p}^{2}+c_{3}t_{p}^{3}+c_{4}t_{p}^{4}+c_{5}t_{p}^{5}$

$\dot{d}_{p} = c_{1}+2c_{2}t_{p}^{1}+3c_{3}t_{p}^{2}+4c_{4}t_{p}^{3}+5c_{5}t_{p}^{4}$

$\ddot{d}_{p} =2c_{2}+6c_{3}t_{p}^{1}+12c_{4}t_{p}^{2}+20c_{5}t_{p}^{3}$

在MATLAB中简化起算，我们用【A0 B0 C0 Ap Bp Cp】分别代表【 $d_{0}$ $\dot{d}_{0}$ $\ddot{d}_{0}$ $d_{p}$ $\dot{d}_{p}$ $\ddot{d}_{p}$ 】，则脚本如下：

clc;
clear;
close;

syms c0 c1 c2 c3 c4 c5 A0 B0 C0 tp Ap Bp Cp
 
% 定义一次方程
eq1 = c0 == A0;
eq2 = c1 == B0;
eq3 = 2*c2 == C0;
eq4 = c0 + c1*tp + c2*tp^2 + c3*tp^3 + c4*tp^4 + c5*tp^5 == Ap;
eq5 = c1 + 2*c2*tp + 3*c3*tp^2 + 4*c4*tp^3 + 5*c5*tp^4 == Bp;
eq6 = 2*c2 + 6*c3*tp + 12*c4*tp^2 + 20*c5*tp^3 == Cp;
% 解方程组
sol = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6], [c0,c1,c2,c3,c4,c5]);
 
% 显示解
disp(sol.c0);
disp(sol.c1);
disp(sol.c2);
disp(sol.c3);
disp(sol.c4);
disp(sol.c5);

在命令行界面的求解结果如下：